Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25659 / 24396
↖ ↑ ↗
← S 65.712558°
E101.898194°		 ← 502.45 m → S 65.712558°
E101.909179°		 →
↑
502.42 m
↓
↑
502.42 m
↓
S 65.717076°
E101.898194°		 ← 502.36 m →
252 418 m²		 S 65.717076°
E101.909179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783065795898438 y=0.744522094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783065795898438 × 215)
    floor (0.783065795898438 × 32768)
    floor (25659.5)     		tx = 25659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744522094726562 × 215)
    floor (0.744522094726562 × 32768)
    floor (24396.5)     		ty = 24396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25659 / 24396 ti = "15/25659/24396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25659/24396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25659 ÷ 215
    25659 ÷ 32768     		x = 0.783050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24396 ÷ 215
    24396 ÷ 32768     		y = 0.7445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783050537109375 × 2 - 1) × π
    0.56610107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77845898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53628175902356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77845898} λ = 1.77845898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53628175902356))-π/2
    2×atan(0.215179705804559)-π/2
    2×0.211947919599979-π/2
    0.423895839199958-1.57079632675     		φ = -1.14690049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77845898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.898194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14690049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.712558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25659 KachelY 24396 1.77845898 -1.14690049 101.898194 -65.712558
    Oben rechts KachelX + 1 25660 KachelY 24396 1.77865072 -1.14690049 101.909179 -65.712558
    Unten links KachelX 25659 KachelY + 1 24397 1.77845898 -1.14697935 101.898194 -65.717076
    Unten rechts KachelX + 1 25660 KachelY + 1 24397 1.77865072 -1.14697935 101.909179 -65.717076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14690049--1.14697935) × R
    7.88600000001249e-05 × 6371000     		dl = 502.417060000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14690049--1.14697935) × R
    7.88600000001249e-05 × 6371000     		dr = 502.417060000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77845898-1.77865072) × cos(-1.14690049) × R
    0.000191739999999996 × 0.411314595154621 × 6371000     		do = 502.451848685876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77845898-1.77865072) × cos(-1.14697935) × R
    0.000191739999999996 × 0.411242713502508 × 6371000     		du = 502.36403981788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14690049)-sin(-1.14697935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411314595154621-0.411242713502508)×R²
    abs(1.77865072-1.77845898)×7.18816521133037e-05×R²
    0.000191739999999996×7.18816521133037e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.18816521133037e-05×40589641000000     		ar = 252418.322403402m²