Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25658 / 24394
↖ ↑ ↗
← S 65.703518°
E101.887207°		 ← 502.65 m → S 65.703518°
E101.898194°		 →
↑
502.61 m
↓
↑
502.61 m
↓
S 65.708038°
E101.887207°		 ← 502.57 m →
252 616 m²		 S 65.708038°
E101.898194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783035278320312 y=0.744461059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783035278320312 × 215)
    floor (0.783035278320312 × 32768)
    floor (25658.5)     		tx = 25658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744461059570312 × 215)
    floor (0.744461059570312 × 32768)
    floor (24394.5)     		ty = 24394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25658 / 24394 ti = "15/25658/24394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25658/24394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25658 ÷ 215
    25658 ÷ 32768     		x = 0.78302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24394 ÷ 215
    24394 ÷ 32768     		y = 0.74444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78302001953125 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77826723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.4888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77826723} λ = 1.77826723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5358982638266))-π/2
    2×atan(0.215262242013327)-π/2
    2×0.212026801971909-π/2
    0.424053603943818-1.57079632675     		φ = -1.14674272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77826723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14674272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.703518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25658 KachelY 24394 1.77826723 -1.14674272 101.887207 -65.703518
    Oben rechts KachelX + 1 25659 KachelY 24394 1.77845898 -1.14674272 101.898194 -65.703518
    Unten links KachelX 25658 KachelY + 1 24395 1.77826723 -1.14682161 101.887207 -65.708038
    Unten rechts KachelX + 1 25659 KachelY + 1 24395 1.77845898 -1.14682161 101.898194 -65.708038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14674272--1.14682161) × R
    7.88899999999426e-05 × 6371000     		dl = 502.608189999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14674272--1.14682161) × R
    7.88899999999426e-05 × 6371000     		dr = 502.608189999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77826723-1.77845898) × cos(-1.14674272) × R
    0.000191749999999935 × 0.411458396356055 × 6371000     		do = 502.653726730444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77826723-1.77845898) × cos(-1.14682161) × R
    0.000191749999999935 × 0.41138649247803 × 6371000     		du = 502.565886130821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14674272)-sin(-1.14682161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411458396356055-0.41138649247803)×R²
    abs(1.77845898-1.77826723)×7.19038780253589e-05×R²
    0.000191749999999935×7.19038780253589e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.19038780253589e-05×40589641000000     		ar = 252615.805217352m²