Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25657 / 24398
↖ ↑ ↗
← S 65.721594°
E101.876221°		 ← 502.30 m → S 65.721594°
E101.887207°		 →
↑
502.23 m
↓
↑
502.23 m
↓
S 65.726110°
E101.876221°		 ← 502.21 m →
252 247 m²		 S 65.726110°
E101.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783004760742188 y=0.744583129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783004760742188 × 215)
    floor (0.783004760742188 × 32768)
    floor (25657.5)     		tx = 25657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744583129882812 × 215)
    floor (0.744583129882812 × 32768)
    floor (24398.5)     		ty = 24398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25657 / 24398 ti = "15/25657/24398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25657/24398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25657 ÷ 215
    25657 ÷ 32768     		x = 0.782989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24398 ÷ 215
    24398 ÷ 32768     		y = 0.74456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782989501953125 × 2 - 1) × π
    0.56597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77807548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.4891357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53666525422052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77807548} λ = 1.77807548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53666525422052))-π/2
    2×atan(0.215097201241962)-π/2
    2×0.211869064796828-π/2
    0.423738129593657-1.57079632675     		φ = -1.14705820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77807548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.876221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14705820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.721594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25657 KachelY 24398 1.77807548 -1.14705820 101.876221 -65.721594
    Oben rechts KachelX + 1 25658 KachelY 24398 1.77826723 -1.14705820 101.887207 -65.721594
    Unten links KachelX 25657 KachelY + 1 24399 1.77807548 -1.14713703 101.876221 -65.726110
    Unten rechts KachelX + 1 25658 KachelY + 1 24399 1.77826723 -1.14713703 101.887207 -65.726110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14705820--1.14713703) × R
    7.88299999998632e-05 × 6371000     		dl = 502.225929999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14705820--1.14713703) × R
    7.88299999998632e-05 × 6371000     		dr = 502.225929999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77807548-1.77826723) × cos(-1.14705820) × R
    0.000191749999999935 × 0.4111708384085 × 6371000     		do = 502.302434655061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77807548-1.77826723) × cos(-1.14713703) × R
    0.000191749999999935 × 0.411098978989926 × 6371000     		du = 502.214648368849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14705820)-sin(-1.14713703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4111708384085-0.411098978989926)×R²
    abs(1.77826723-1.77807548)×7.18594185744603e-05×R²
    0.000191749999999935×7.18594185744603e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.18594185744603e-05×40589641000000     		ar = 252247.263240812m²