Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25656 / 24760
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E101.865234°		 ← 471.32 m → S 67.305976°
E101.876221°		 →
↑
471.26 m
↓
↑
471.26 m
↓
S 67.310214°
E101.865234°		 ← 471.24 m →
222 096 m²		 S 67.310214°
E101.876221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782974243164062 y=0.755630493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782974243164062 × 215)
    floor (0.782974243164062 × 32768)
    floor (25656.5)     		tx = 25656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755630493164062 × 215)
    floor (0.755630493164062 × 32768)
    floor (24760.5)     		ty = 24760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25656 / 24760 ti = "15/25656/24760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25656/24760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25656 ÷ 215
    25656 ÷ 32768     		x = 0.782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24760 ÷ 215
    24760 ÷ 32768     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77788373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77788373} λ = 1.77788373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77788373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.865234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25656 KachelY 24760 1.77788373 -1.17471088 101.865234 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 25657 KachelY 24760 1.77807548 -1.17471088 101.876221 -67.305976
    Unten links KachelX 25656 KachelY + 1 24761 1.77788373 -1.17478485 101.865234 -67.310214
    Unten rechts KachelX + 1 25657 KachelY + 1 24761 1.77807548 -1.17478485 101.876221 -67.310214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17478485) × R
    7.39700000000898e-05 × 6371000     		dl = 471.262870000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17478485) × R
    7.39700000000898e-05 × 6371000     		dr = 471.262870000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77788373-1.77807548) × cos(-1.17471088) × R
    0.000191749999999935 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 471.320425969558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77788373-1.77807548) × cos(-1.17478485) × R
    0.000191749999999935 × 0.385741581409892 × 6371000     		du = 471.237056207235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17478485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385741581409892)×R²
    abs(1.77807548-1.77788373)×6.82441746391316e-05×R²
    0.000191749999999935×6.82441746391316e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.82441746391316e-05×40589641000000     		ar = 222096.172196502m²