Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25655 / 25001
↖ ↑ ↗
← S 68.305966°
E101.854248°		 ← 451.56 m → S 68.305966°
E101.865234°		 →
↑
451.51 m
↓
↑
451.51 m
↓
S 68.310027°
E101.854248°		 ← 451.47 m →
203 865 m²		 S 68.310027°
E101.865234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782943725585938 y=0.762985229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782943725585938 × 215)
    floor (0.782943725585938 × 32768)
    floor (25655.5)     		tx = 25655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762985229492188 × 215)
    floor (0.762985229492188 × 32768)
    floor (25001.5)     		ty = 25001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25655 / 25001 ti = "15/25655/25001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25655/25001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25655 ÷ 215
    25655 ÷ 32768     		x = 0.782928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25001 ÷ 215
    25001 ÷ 32768     		y = 0.762969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782928466796875 × 2 - 1) × π
    0.56585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77769199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.52593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6522890561041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77769199} λ = 1.77769199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6522890561041))-π/2
    2×atan(0.19161079837087)-π/2
    2×0.189316160782448-π/2
    0.378632321564897-1.57079632675     		φ = -1.19216401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77769199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.854248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19216401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.305966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25655 KachelY 25001 1.77769199 -1.19216401 101.854248 -68.305966
    Oben rechts KachelX + 1 25656 KachelY 25001 1.77788373 -1.19216401 101.865234 -68.305966
    Unten links KachelX 25655 KachelY + 1 25002 1.77769199 -1.19223488 101.854248 -68.310027
    Unten rechts KachelX + 1 25656 KachelY + 1 25002 1.77788373 -1.19223488 101.865234 -68.310027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19216401--1.19223488) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dl = 451.512770000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19216401--1.19223488) × R
    7.08700000000562e-05 × 6371000     		dr = 451.512770000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77769199-1.77788373) × cos(-1.19216401) × R
    0.000191739999999996 × 0.369650003869752 × 6371000     		do = 451.555403088185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77769199-1.77788373) × cos(-1.19223488) × R
    0.000191739999999996 × 0.369584152587885 × 6371000     		du = 451.474960772978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19216401)-sin(-1.19223488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369650003869752-0.369584152587885)×R²
    abs(1.77788373-1.77769199)×6.58512818674795e-05×R²
    0.000191739999999996×6.58512818674795e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.58512818674795e-05×40589641000000     		ar = 203864.870576408m²