Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25650 / 24852
↖ ↑ ↗
← S 67.692771°
E101.799317°		 ← 463.70 m → S 67.692771°
E101.810303°		 →
↑
463.68 m
↓
↑
463.68 m
↓
S 67.696941°
E101.799317°		 ← 463.62 m →
214 991 m²		 S 67.696941°
E101.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782791137695312 y=0.758438110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782791137695312 × 215)
    floor (0.782791137695312 × 32768)
    floor (25650.5)     		tx = 25650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758438110351562 × 215)
    floor (0.758438110351562 × 32768)
    floor (24852.5)     		ty = 24852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25650 / 24852 ti = "15/25650/24852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25650/24852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25650 ÷ 215
    25650 ÷ 32768     		x = 0.78277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24852 ÷ 215
    24852 ÷ 32768     		y = 0.7584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78277587890625 × 2 - 1) × π
    0.5655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77673325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77673325} λ = 1.77673325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62371866393054))-π/2
    2×atan(0.197164146952166)-π/2
    2×0.194667296963142-π/2
    0.389334593926285-1.57079632675     		φ = -1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77673325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.799317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25650 KachelY 24852 1.77673325 -1.18146173 101.799317 -67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 25651 KachelY 24852 1.77692500 -1.18146173 101.810303 -67.692771
    Unten links KachelX 25650 KachelY + 1 24853 1.77673325 -1.18153451 101.799317 -67.696941
    Unten rechts KachelX + 1 25651 KachelY + 1 24853 1.77692500 -1.18153451 101.810303 -67.696941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18146173--1.18153451) × R
    7.27799999999945e-05 × 6371000     		dl = 463.681379999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18146173--1.18153451) × R
    7.27799999999945e-05 × 6371000     		dr = 463.681379999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77673325-1.77692500) × cos(-1.18146173) × R
    0.000191750000000157 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 463.701144996325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77673325-1.77692500) × cos(-1.18153451) × R
    0.000191750000000157 × 0.379505559265859 × 6371000     		du = 463.618886792754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18146173)-sin(-1.18153451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.379505559265859)×R²
    abs(1.77692500-1.77673325)×6.73342834803803e-05×R²
    0.000191750000000157×6.73342834803803e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.73342834803803e-05×40589641000000     		ar = 214990.516115349m²