Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2565 / 3601
↖ ↑ ↗
← N 70.488236°
W123.640137°		 ← 816.03 m → N 70.488236°
W123.618164°		 →
↑
816.19 m
↓
↑
816.19 m
↓
N 70.480896°
W123.640137°		 ← 816.33 m →
666 159 m²		 N 70.480896°
W123.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156585693359375 y=0.219818115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156585693359375 × 214)
    floor (0.156585693359375 × 16384)
    floor (2565.5)     		tx = 2565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219818115234375 × 214)
    floor (0.219818115234375 × 16384)
    floor (3601.5)     		ty = 3601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2565 / 3601 ti = "14/2565/3601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2565/3601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2565 ÷ 214
    2565 ÷ 16384     		x = 0.15655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3601 ÷ 214
    3601 ÷ 16384     		y = 0.21978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.6868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15792747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21978759765625 × 2 - 1) × π
    0.5604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76062644924542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15792747} λ = -2.15792747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76062644924542))-π/2
    2×atan(5.81607973217313)-π/2
    2×1.40052406437455-π/2
    2.80104812874909-1.57079632675     		φ = 1.23025180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15792747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23025180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.488236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2565 KachelY 3601 -2.15792747 1.23025180 -123.640137 70.488236
    Oben rechts KachelX + 1 2566 KachelY 3601 -2.15754398 1.23025180 -123.618164 70.488236
    Unten links KachelX 2565 KachelY + 1 3602 -2.15792747 1.23012369 -123.640137 70.480896
    Unten rechts KachelX + 1 2566 KachelY + 1 3602 -2.15754398 1.23012369 -123.618164 70.480896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23025180-1.23012369) × R
    0.000128109999999904 × 6371000     		dl = 816.188809999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23025180-1.23012369) × R
    0.000128109999999904 × 6371000     		dr = 816.188809999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15792747--2.15754398) × cos(1.23025180) × R
    0.000383490000000375 × 0.334000397850807 × 6371000     		do = 816.034711895773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15792747--2.15754398) × cos(1.23012369) × R
    0.000383490000000375 × 0.334121148128101 × 6371000     		du = 816.329730759156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23025180)-sin(1.23012369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334000397850807-0.334121148128101)×R²
    abs(-2.15754398--2.15792747)×0.000120750277294579×R²
    0.000383490000000375×0.000120750277294579×6371000²
    0.000383490000000375×0.000120750277294579×40589641000000     		ar = 666158.79687892m²