Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25648 / 24819
↖ ↑ ↗
← S 67.554754°
E101.777344°		 ← 466.42 m → S 67.554754°
E101.788330°		 →
↑
466.36 m
↓
↑
466.36 m
↓
S 67.558948°
E101.777344°		 ← 466.34 m →
217 500 m²		 S 67.558948°
E101.788330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782730102539062 y=0.757431030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782730102539062 × 215)
    floor (0.782730102539062 × 32768)
    floor (25648.5)     		tx = 25648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757431030273438 × 215)
    floor (0.757431030273438 × 32768)
    floor (24819.5)     		ty = 24819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25648 / 24819 ti = "15/25648/24819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25648/24819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25648 ÷ 215
    25648 ÷ 32768     		x = 0.78271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24819 ÷ 215
    24819 ÷ 32768     		y = 0.757415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77634975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.51483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61739099318069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77634975} λ = 1.77634975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61739099318069))-π/2
    2×atan(0.198415692265163)-π/2
    2×0.195871723933007-π/2
    0.391743447866014-1.57079632675     		φ = -1.17905288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77634975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17905288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.554754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25648 KachelY 24819 1.77634975 -1.17905288 101.777344 -67.554754
    Oben rechts KachelX + 1 25649 KachelY 24819 1.77654150 -1.17905288 101.788330 -67.554754
    Unten links KachelX 25648 KachelY + 1 24820 1.77634975 -1.17912608 101.777344 -67.558948
    Unten rechts KachelX + 1 25649 KachelY + 1 24820 1.77654150 -1.17912608 101.788330 -67.558948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17905288--1.17912608) × R
    7.32000000001065e-05 × 6371000     		dl = 466.357200000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17905288--1.17912608) × R
    7.32000000001065e-05 × 6371000     		dr = 466.357200000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77634975-1.77654150) × cos(-1.17905288) × R
    0.000191749999999935 × 0.381800366230746 × 6371000     		do = 466.422313051695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77634975-1.77654150) × cos(-1.17912608) × R
    0.000191749999999935 × 0.381732710487368 × 6371000     		du = 466.339662140098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17905288)-sin(-1.17912608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381800366230746-0.381732710487368)×R²
    abs(1.77654150-1.77634975)×6.7655743377415e-05×R²
    0.000191749999999935×6.7655743377415e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.7655743377415e-05×40589641000000     		ar = 217500.131606247m²