Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25643 / 24657
↖ ↑ ↗
← S 66.865399°
E101.722412°		 ← 479.97 m → S 66.865399°
E101.733398°		 →
↑
479.93 m
↓
↑
479.93 m
↓
S 66.869715°
E101.722412°		 ← 479.89 m →
230 332 m²		 S 66.869715°
E101.733398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782577514648438 y=0.752487182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782577514648438 × 215)
    floor (0.782577514648438 × 32768)
    floor (25643.5)     		tx = 25643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752487182617188 × 215)
    floor (0.752487182617188 × 32768)
    floor (24657.5)     		ty = 24657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25643 / 24657 ti = "15/25643/24657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25643/24657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25643 ÷ 215
    25643 ÷ 32768     		x = 0.782562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24657 ÷ 215
    24657 ÷ 32768     		y = 0.752471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782562255859375 × 2 - 1) × π
    0.56512451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77539101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.50494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5863278822269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77539101} λ = 1.77539101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5863278822269))-π/2
    2×atan(0.204675827194195)-π/2
    2×0.201887478175661-π/2
    0.403774956351321-1.57079632675     		φ = -1.16702137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77539101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.722412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16702137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.865399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25643 KachelY 24657 1.77539101 -1.16702137 101.722412 -66.865399
    Oben rechts KachelX + 1 25644 KachelY 24657 1.77558276 -1.16702137 101.733398 -66.865399
    Unten links KachelX 25643 KachelY + 1 24658 1.77539101 -1.16709670 101.722412 -66.869715
    Unten rechts KachelX + 1 25644 KachelY + 1 24658 1.77558276 -1.16709670 101.733398 -66.869715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16702137--1.16709670) × R
    7.53300000000401e-05 × 6371000     		dl = 479.927430000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16702137--1.16709670) × R
    7.53300000000401e-05 × 6371000     		dr = 479.927430000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77539101-1.77558276) × cos(-1.16702137) × R
    0.000191749999999935 × 0.392892524847942 × 6371000     		do = 479.972929385683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77539101-1.77558276) × cos(-1.16709670) × R
    0.000191749999999935 × 0.392823251440596 × 6371000     		du = 479.888302272289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16702137)-sin(-1.16709670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392892524847942-0.392823251440596)×R²
    abs(1.77558276-1.77539101)×6.9273407345416e-05×R²
    0.000191749999999935×6.9273407345416e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.9273407345416e-05×40589641000000     		ar = 230331.867142926m²