Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25636 / 24844
↖ ↑ ↗
← S 67.659386°
E101.645508°		 ← 464.36 m → S 67.659386°
E101.656494°		 →
↑
464.32 m
↓
↑
464.32 m
↓
S 67.663562°
E101.645508°		 ← 464.28 m →
215 592 m²		 S 67.663562°
E101.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782363891601562 y=0.758193969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782363891601562 × 215)
    floor (0.782363891601562 × 32768)
    floor (25636.5)     		tx = 25636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758193969726562 × 215)
    floor (0.758193969726562 × 32768)
    floor (24844.5)     		ty = 24844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25636 / 24844 ti = "15/25636/24844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25636/24844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25636 ÷ 215
    25636 ÷ 32768     		x = 0.7823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24844 ÷ 215
    24844 ÷ 32768     		y = 0.7581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    0.564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77404878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77404878} λ = 1.77404878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6221846831427))-π/2
    2×atan(0.197466825057489)-π/2
    2×0.194958632387661-π/2
    0.389917264775322-1.57079632675     		φ = -1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77404878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25636 KachelY 24844 1.77404878 -1.18087906 101.645508 -67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 25637 KachelY 24844 1.77424053 -1.18087906 101.656494 -67.659386
    Unten links KachelX 25636 KachelY + 1 24845 1.77404878 -1.18095194 101.645508 -67.663562
    Unten rechts KachelX + 1 25637 KachelY + 1 24845 1.77424053 -1.18095194 101.656494 -67.663562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18087906--1.18095194) × R
    7.28799999998309e-05 × 6371000     		dl = 464.318479998922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18087906--1.18095194) × R
    7.28799999998309e-05 × 6371000     		dr = 464.318479998922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77404878-1.77424053) × cos(-1.18087906) × R
    0.000191749999999935 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 464.359608040653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77404878-1.77424053) × cos(-1.18095194) × R
    0.000191749999999935 × 0.380044482457288 × 6371000     		du = 464.277256515603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18087906)-sin(-1.18095194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.380044482457288)×R²
    abs(1.77424053-1.77404878)×6.74106738555169e-05×R²
    0.000191749999999935×6.74106738555169e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.74106738555169e-05×40589641000000     		ar = 215591.628806254m²