Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25626 / 24123
↖ ↑ ↗
← S 64.449111°
E101.535645°		 ← 526.88 m → S 64.449111°
E101.546631°		 →
↑
526.88 m
↓
↑
526.88 m
↓
S 64.453850°
E101.535645°		 ← 526.79 m →
277 580 m²		 S 64.453850°
E101.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782058715820312 y=0.736190795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782058715820312 × 215)
    floor (0.782058715820312 × 32768)
    floor (25626.5)     		tx = 25626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736190795898438 × 215)
    floor (0.736190795898438 × 32768)
    floor (24123.5)     		ty = 24123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25626 / 24123 ti = "15/25626/24123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25626/24123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25626 ÷ 215
    25626 ÷ 32768     		x = 0.78204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24123 ÷ 215
    24123 ÷ 32768     		y = 0.736175537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78204345703125 × 2 - 1) × π
    0.5640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77213131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736175537109375 × 2 - 1) × π
    -0.47235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48393466463846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77213131} λ = 1.77213131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48393466463846))-π/2
    2×atan(0.226743770208338)-π/2
    2×0.222973566824796-π/2
    0.445947133649592-1.57079632675     		φ = -1.12484919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77213131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.535645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12484919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.449111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25626 KachelY 24123 1.77213131 -1.12484919 101.535645 -64.449111
    Oben rechts KachelX + 1 25627 KachelY 24123 1.77232305 -1.12484919 101.546631 -64.449111
    Unten links KachelX 25626 KachelY + 1 24124 1.77213131 -1.12493189 101.535645 -64.453850
    Unten rechts KachelX + 1 25627 KachelY + 1 24124 1.77232305 -1.12493189 101.546631 -64.453850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12484919--1.12493189) × R
    8.27000000001021e-05 × 6371000     		dl = 526.881700000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12484919--1.12493189) × R
    8.27000000001021e-05 × 6371000     		dr = 526.881700000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77213131-1.77232305) × cos(-1.12484919) × R
    0.000191739999999996 × 0.431312582870751 × 6371000     		do = 526.880901329121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77213131-1.77232305) × cos(-1.12493189) × R
    0.000191739999999996 × 0.431237969244345 × 6371000     		du = 526.789755148152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12484919)-sin(-1.12493189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431312582870751-0.431237969244345)×R²
    abs(1.77232305-1.77213131)×7.46136264064834e-05×R²
    0.000191739999999996×7.46136264064834e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.46136264064834e-05×40589641000000     		ar = 277579.893521196m²