Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25624 / 23577
↖ ↑ ↗
← N 74.757802°
W109.621582°		 ← 80.30 m → N 74.757802°
W109.618835°		 →
↑
80.27 m
↓
↑
80.27 m
↓
N 74.757080°
W109.621582°		 ← 80.30 m →
6 446 m²		 N 74.757080°
W109.618835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.195499420166016 y=0.179882049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.195499420166016 × 217)
    floor (0.195499420166016 × 131072)
    floor (25624.5)     		tx = 25624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179882049560547 × 217)
    floor (0.179882049560547 × 131072)
    floor (23577.5)     		ty = 23577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25624 / 23577 ti = "17/25624/23577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25624/23577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25624 ÷ 217
    25624 ÷ 131072     		x = 0.19549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23577 ÷ 217
    23577 ÷ 131072     		y = 0.179878234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.6090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.91325754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179878234863281 × 2 - 1) × π
    0.640243530273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.01138437115794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91325754} λ = -1.91325754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01138437115794))-π/2
    2×atan(7.47365650356096)-π/2
    2×1.437783052598-π/2
    2.875566105196-1.57079632675     		φ = 1.30476978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91325754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30476978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.757802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25624 KachelY 23577 -1.91325754 1.30476978 -109.621582 74.757802
    Oben rechts KachelX + 1 25625 KachelY 23577 -1.91320960 1.30476978 -109.618835 74.757802
    Unten links KachelX 25624 KachelY + 1 23578 -1.91325754 1.30475718 -109.621582 74.757080
    Unten rechts KachelX + 1 25625 KachelY + 1 23578 -1.91320960 1.30475718 -109.618835 74.757080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30476978-1.30475718) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dl = 80.2746000001864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30476978-1.30475718) × R
    1.26000000000293e-05 × 6371000     		dr = 80.2746000001864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91325754--1.91320960) × cos(1.30476978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.26289984258932 × 6371000     		do = 80.2963789686738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91325754--1.91320960) × cos(1.30475718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262911999339892 × 6371000     		du = 80.3000919532134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30476978)-sin(1.30475718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26289984258932-0.262911999339892)×R²
    abs(-1.91320960--1.91325754)×1.2156750572534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2156750572534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2156750572534e-05×40589641000000     		ar = 6445.90873238052m²