Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25621 / 24126
↖ ↑ ↗
← S 64.463323°
E101.480713°		 ← 526.61 m → S 64.463323°
E101.491699°		 →
↑
526.56 m
↓
↑
526.56 m
↓
S 64.468059°
E101.480713°		 ← 526.52 m →
277 268 m²		 S 64.468059°
E101.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781906127929688 y=0.736282348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781906127929688 × 215)
    floor (0.781906127929688 × 32768)
    floor (25621.5)     		tx = 25621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736282348632812 × 215)
    floor (0.736282348632812 × 32768)
    floor (24126.5)     		ty = 24126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25621 / 24126 ti = "15/25621/24126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25621/24126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25621 ÷ 215
    25621 ÷ 32768     		x = 0.781890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24126 ÷ 215
    24126 ÷ 32768     		y = 0.73626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781890869140625 × 2 - 1) × π
    0.56378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77117257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.4725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4845099074339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77117257} λ = 1.77117257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4845099074339))-π/2
    2×atan(0.226613374996164)-π/2
    2×0.22284954428468-π/2
    0.44569908856936-1.57079632675     		φ = -1.12509724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77117257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12509724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.463323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25621 KachelY 24126 1.77117257 -1.12509724 101.480713 -64.463323
    Oben rechts KachelX + 1 25622 KachelY 24126 1.77136431 -1.12509724 101.491699 -64.463323
    Unten links KachelX 25621 KachelY + 1 24127 1.77117257 -1.12517989 101.480713 -64.468059
    Unten rechts KachelX + 1 25622 KachelY + 1 24127 1.77136431 -1.12517989 101.491699 -64.468059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12509724--1.12517989) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dl = 526.563149999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12509724--1.12517989) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dr = 526.563149999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77117257-1.77136431) × cos(-1.12509724) × R
    0.000191739999999996 × 0.431088778259434 × 6371000     		do = 526.607507090197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77117257-1.77136431) × cos(-1.12517989) × R
    0.000191739999999996 × 0.431014200905514 × 6371000     		du = 526.51640521881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12509724)-sin(-1.12517989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431088778259434-0.431014200905514)×R²
    abs(1.77136431-1.77117257)×7.4577353919858e-05×R²
    0.000191739999999996×7.4577353919858e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.4577353919858e-05×40589641000000     		ar = 277268.122460614m²