Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25615 / 24881
↖ ↑ ↗
← S 67.813393°
E101.414795°		 ← 461.32 m → S 67.813393°
E101.425781°		 →
↑
461.32 m
↓
↑
461.32 m
↓
S 67.817542°
E101.414795°		 ← 461.24 m →
212 799 m²		 S 67.817542°
E101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781723022460938 y=0.759323120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781723022460938 × 215)
    floor (0.781723022460938 × 32768)
    floor (25615.5)     		tx = 25615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759323120117188 × 215)
    floor (0.759323120117188 × 32768)
    floor (24881.5)     		ty = 24881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25615 / 24881 ti = "15/25615/24881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25615/24881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25615 ÷ 215
    25615 ÷ 32768     		x = 0.781707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24881 ÷ 215
    24881 ÷ 32768     		y = 0.759307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781707763671875 × 2 - 1) × π
    0.56341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77002208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.51861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62927934428647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77002208} λ = 1.77002208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62927934428647))-π/2
    2×atan(0.196070822783666)-π/2
    2×0.193614665951793-π/2
    0.387229331903587-1.57079632675     		φ = -1.18356699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77002208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18356699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.813393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25615 KachelY 24881 1.77002208 -1.18356699 101.414795 -67.813393
    Oben rechts KachelX + 1 25616 KachelY 24881 1.77021383 -1.18356699 101.425781 -67.813393
    Unten links KachelX 25615 KachelY + 1 24882 1.77002208 -1.18363940 101.414795 -67.817542
    Unten rechts KachelX + 1 25616 KachelY + 1 24882 1.77021383 -1.18363940 101.425781 -67.817542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18356699--1.18363940) × R
    7.24099999998007e-05 × 6371000     		dl = 461.32410999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18356699--1.18363940) × R
    7.24099999998007e-05 × 6371000     		dr = 461.32410999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77002208-1.77021383) × cos(-1.18356699) × R
    0.000191750000000157 × 0.377624347630195 × 6371000     		do = 461.320724821069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77002208-1.77021383) × cos(-1.18363940) × R
    0.000191750000000157 × 0.377557297957591 × 6371000     		du = 461.238814309316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18356699)-sin(-1.18363940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377624347630195-0.377557297957591)×R²
    abs(1.77021383-1.77002208)×6.70496726044023e-05×R²
    0.000191750000000157×6.70496726044023e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.70496726044023e-05×40589641000000     		ar = 212799.479248291m²