Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25614 / 24124
↖ ↑ ↗
← S 64.453850°
E101.403808°		 ← 526.82 m → S 64.453850°
E101.414795°		 →
↑
526.75 m
↓
↑
526.75 m
↓
S 64.458587°
E101.403808°		 ← 526.73 m →
277 479 m²		 S 64.458587°
E101.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781692504882812 y=0.736221313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781692504882812 × 215)
    floor (0.781692504882812 × 32768)
    floor (25614.5)     		tx = 25614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736221313476562 × 215)
    floor (0.736221313476562 × 32768)
    floor (24124.5)     		ty = 24124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25614 / 24124 ti = "15/25614/24124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25614/24124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25614 ÷ 215
    25614 ÷ 32768     		x = 0.78167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24124 ÷ 215
    24124 ÷ 32768     		y = 0.7362060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78167724609375 × 2 - 1) × π
    0.5633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76983033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48412641223694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76983033} λ = 1.76983033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48412641223694))-π/2
    2×atan(0.226700296803024)-π/2
    2×0.222932218825741-π/2
    0.445864437651481-1.57079632675     		φ = -1.12493189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76983033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.403808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12493189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.453850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25614 KachelY 24124 1.76983033 -1.12493189 101.403808 -64.453850
    Oben rechts KachelX + 1 25615 KachelY 24124 1.77002208 -1.12493189 101.414795 -64.453850
    Unten links KachelX 25614 KachelY + 1 24125 1.76983033 -1.12501457 101.403808 -64.458587
    Unten rechts KachelX + 1 25615 KachelY + 1 24125 1.77002208 -1.12501457 101.414795 -64.458587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12493189--1.12501457) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dl = 526.75428000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12493189--1.12501457) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dr = 526.75428000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76983033-1.77002208) × cos(-1.12493189) × R
    0.000191749999999935 × 0.431237969244345 × 6371000     		do = 526.817229319006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76983033-1.77002208) × cos(-1.12501457) × R
    0.000191749999999935 × 0.431163370714054 × 6371000     		du = 526.726096826411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12493189)-sin(-1.12501457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431237969244345-0.431163370714054)×R²
    abs(1.77002208-1.76983033)×7.4598530290404e-05×R²
    0.000191749999999935×7.4598530290404e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.4598530290404e-05×40589641000000     		ar = 277479.228264199m²