Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25612 / 24119
↖ ↑ ↗
← S 64.430151°
E101.381836°		 ← 527.27 m → S 64.430151°
E101.392822°		 →
↑
527.20 m
↓
↑
527.20 m
↓
S 64.434892°
E101.381836°		 ← 527.18 m →
277 954 m²		 S 64.434892°
E101.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781631469726562 y=0.736068725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781631469726562 × 215)
    floor (0.781631469726562 × 32768)
    floor (25612.5)     		tx = 25612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736068725585938 × 215)
    floor (0.736068725585938 × 32768)
    floor (24119.5)     		ty = 24119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25612 / 24119 ti = "15/25612/24119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25612/24119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25612 ÷ 215
    25612 ÷ 32768     		x = 0.7816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24119 ÷ 215
    24119 ÷ 32768     		y = 0.736053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7816162109375 × 2 - 1) × π
    0.563232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76944684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.47210693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48316767424454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76944684} λ = 1.76944684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48316767424454))-π/2
    2×atan(0.226917747212786)-π/2
    2×0.223139030366795-π/2
    0.44627806073359-1.57079632675     		φ = -1.12451827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76944684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12451827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.430151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25612 KachelY 24119 1.76944684 -1.12451827 101.381836 -64.430151
    Oben rechts KachelX + 1 25613 KachelY 24119 1.76963859 -1.12451827 101.392822 -64.430151
    Unten links KachelX 25612 KachelY + 1 24120 1.76944684 -1.12460102 101.381836 -64.434892
    Unten rechts KachelX + 1 25613 KachelY + 1 24120 1.76963859 -1.12460102 101.392822 -64.434892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12451827--1.12460102) × R
    8.27500000000203e-05 × 6371000     		dl = 527.200250000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12451827--1.12460102) × R
    8.27500000000203e-05 × 6371000     		dr = 527.200250000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76944684-1.76963859) × cos(-1.12451827) × R
    0.000191749999999935 × 0.431611116119732 × 6371000     		do = 527.273080187994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76944684-1.76963859) × cos(-1.12460102) × R
    0.000191749999999935 × 0.431536469195384 × 6371000     		du = 527.181888575318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12451827)-sin(-1.12460102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431611116119732-0.431536469195384)×R²
    abs(1.76963859-1.76944684)×7.46469243486092e-05×R²
    0.000191749999999935×7.46469243486092e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.46469243486092e-05×40589641000000     		ar = 277954.461731746m²