Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25610 / 24906
↖ ↑ ↗
← S 67.916882°
E101.359863°		 ← 459.28 m → S 67.916882°
E101.370850°		 →
↑
459.22 m
↓
↑
459.22 m
↓
S 67.921011°
E101.359863°		 ← 459.20 m →
210 891 m²		 S 67.921011°
E101.370850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781570434570312 y=0.760086059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781570434570312 × 215)
    floor (0.781570434570312 × 32768)
    floor (25610.5)     		tx = 25610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760086059570312 × 215)
    floor (0.760086059570312 × 32768)
    floor (24906.5)     		ty = 24906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25610 / 24906 ti = "15/25610/24906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25610/24906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25610 ÷ 215
    25610 ÷ 32768     		x = 0.78155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24906 ÷ 215
    24906 ÷ 32768     		y = 0.76007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78155517578125 × 2 - 1) × π
    0.5631103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76906334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.5201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63407303424847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76906334} λ = 1.76906334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63407303424847))-π/2
    2×atan(0.195133169254366)-π/2
    2×0.192711565239363-π/2
    0.385423130478725-1.57079632675     		φ = -1.18537320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76906334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18537320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.916882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25610 KachelY 24906 1.76906334 -1.18537320 101.359863 -67.916882
    Oben rechts KachelX + 1 25611 KachelY 24906 1.76925509 -1.18537320 101.370850 -67.916882
    Unten links KachelX 25610 KachelY + 1 24907 1.76906334 -1.18544528 101.359863 -67.921011
    Unten rechts KachelX + 1 25611 KachelY + 1 24907 1.76925509 -1.18544528 101.370850 -67.921011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18537320--1.18544528) × R
    7.20800000000299e-05 × 6371000     		dl = 459.22168000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18537320--1.18544528) × R
    7.20800000000299e-05 × 6371000     		dr = 459.22168000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76906334-1.76925509) × cos(-1.18537320) × R
    0.000191749999999935 × 0.375951256366776 × 6371000     		do = 459.276810864311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76906334-1.76925509) × cos(-1.18544528) × R
    0.000191749999999935 × 0.375884463219325 × 6371000     		du = 459.195213733753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18537320)-sin(-1.18544528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375951256366776-0.375884463219325)×R²
    abs(1.76925509-1.76906334)×6.67931474514494e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67931474514494e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67931474514494e-05×40589641000000     		ar = 210891.133175628m²