Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2561 / 619
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 45.087890°		 ← 2 156.13 m → N 77.254479°
E 45.175781°		 →
↑
2 157.79 m
↓
↑
2 157.79 m
↓
N 77.235073°
E 45.087890°		 ← 2 159.36 m →
4 655 963 m²		 N 77.235073°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6253662109375 y=0.1512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6253662109375 × 212)
    floor (0.6253662109375 × 4096)
    floor (2561.5)     		tx = 2561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1512451171875 × 212)
    floor (0.1512451171875 × 4096)
    floor (619.5)     		ty = 619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2561 / 619 ti = "12/2561/619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2561/619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2561 ÷ 212
    2561 ÷ 4096     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 619 ÷ 212
    619 ÷ 4096     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2561 KachelY 619 0.78693214 1.34834502 45.087890 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 2562 KachelY 619 0.78846612 1.34834502 45.175781 77.254479
    Unten links KachelX 2561 KachelY + 1 620 0.78693214 1.34800633 45.087890 77.235073
    Unten rechts KachelX + 1 2562 KachelY + 1 620 0.78846612 1.34800633 45.175781 77.235073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34800633) × R
    0.000338689999999975 × 6371000     		dl = 2157.79398999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34800633) × R
    0.000338689999999975 × 6371000     		dr = 2157.79398999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.34834502) × R
    0.00153398000000005 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 2156.12792007954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.34800633) × R
    0.00153398000000005 × 0.220951520946196 × 6371000     		du = 2159.35624903783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34800633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.220951520946196)×R²
    abs(0.78846612-0.78693214)×0.000330331872642864×R²
    0.00153398000000005×0.000330331872642864×6371000²
    0.00153398000000005×0.000330331872642864×40589641000000     		ar = 4655962.94653631m²