Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2561 / 617
↖ ↑ ↗
← N 77.293202°
E 45.087890°		 ← 2 149.69 m → N 77.293202°
E 45.175781°		 →
↑
2 151.30 m
↓
↑
2 151.30 m
↓
N 77.273855°
E 45.087890°		 ← 2 152.90 m →
4 628 071 m²		 N 77.273855°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6253662109375 y=0.1507568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6253662109375 × 212)
    floor (0.6253662109375 × 4096)
    floor (2561.5)     		tx = 2561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1507568359375 × 212)
    floor (0.1507568359375 × 4096)
    floor (617.5)     		ty = 617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2561 / 617 ti = "12/2561/617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2561/617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2561 ÷ 212
    2561 ÷ 4096     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 617 ÷ 212
    617 ÷ 4096     		y = 0.150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150634765625 × 2 - 1) × π
    0.69873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19512650740161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19512650740161))-π/2
    2×atan(8.98113716528109)-π/2
    2×1.45990859382419-π/2
    2.91981718764839-1.57079632675     		φ = 1.34902086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34902086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.293202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2561 KachelY 617 0.78693214 1.34902086 45.087890 77.293202
    Oben rechts KachelX + 1 2562 KachelY 617 0.78846612 1.34902086 45.175781 77.293202
    Unten links KachelX 2561 KachelY + 1 618 0.78693214 1.34868319 45.087890 77.273855
    Unten rechts KachelX + 1 2562 KachelY + 1 618 0.78846612 1.34868319 45.175781 77.273855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34902086-1.34868319) × R
    0.000337669999999957 × 6371000     		dl = 2151.29556999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34902086-1.34868319) × R
    0.000337669999999957 × 6371000     		dr = 2151.29556999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.34902086) × R
    0.00153398000000005 × 0.219961951726465 × 6371000     		do = 2149.68520233341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.34868319) × R
    0.00153398000000005 × 0.220291339119025 × 6371000     		du = 2152.90430090052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34902086)-sin(1.34868319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219961951726465-0.220291339119025)×R²
    abs(0.78846612-0.78693214)×0.000329387392560498×R²
    0.00153398000000005×0.000329387392560498×6371000²
    0.00153398000000005×0.000329387392560498×40589641000000     		ar = 4628070.91289444m²