Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25604 / 24830
↖ ↑ ↗
← S 67.600849°
E101.293945°		 ← 465.51 m → S 67.600849°
E101.304932°		 →
↑
465.47 m
↓
↑
465.47 m
↓
S 67.605035°
E101.293945°		 ← 465.43 m →
216 661 m²		 S 67.605035°
E101.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781387329101562 y=0.757766723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781387329101562 × 215)
    floor (0.781387329101562 × 32768)
    floor (25604.5)     		tx = 25604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757766723632812 × 215)
    floor (0.757766723632812 × 32768)
    floor (24830.5)     		ty = 24830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25604 / 24830 ti = "15/25604/24830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25604/24830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25604 ÷ 215
    25604 ÷ 32768     		x = 0.7813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24830 ÷ 215
    24830 ÷ 32768     		y = 0.75775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76791286} λ = 1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61950021676398))-π/2
    2×atan(0.197997630255859)-π/2
    2×0.195469465024128-π/2
    0.390938930048255-1.57079632675     		φ = -1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25604 KachelY 24830 1.76791286 -1.17985740 101.293945 -67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 25605 KachelY 24830 1.76810461 -1.17985740 101.304932 -67.600849
    Unten links KachelX 25604 KachelY + 1 24831 1.76791286 -1.17993046 101.293945 -67.605035
    Unten rechts KachelX + 1 25605 KachelY + 1 24831 1.76810461 -1.17993046 101.304932 -67.605035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17985740--1.17993046) × R
    7.30600000000692e-05 × 6371000     		dl = 465.465260000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17985740--1.17993046) × R
    7.30600000000692e-05 × 6371000     		dr = 465.465260000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76791286-1.76810461) × cos(-1.17985740) × R
    0.000191749999999935 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 465.513783704182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76791286-1.76810461) × cos(-1.17993046) × R
    0.000191749999999935 × 0.380989120547892 × 6371000     		du = 465.431263484129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17985740)-sin(-1.17993046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.380989120547892)×R²
    abs(1.76810461-1.76791286)×6.75487629044347e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75487629044347e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75487629044347e-05×40589641000000     		ar = 216661.289314272m²