Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25602 / 24045
↖ ↑ ↗
← S 64.077003°
E101.271972°		 ← 534.06 m → S 64.077003°
E101.282959°		 →
↑
534.02 m
↓
↑
534.02 m
↓
S 64.081805°
E101.271972°		 ← 533.96 m →
285 170 m²		 S 64.081805°
E101.282959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781326293945312 y=0.733810424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781326293945312 × 215)
    floor (0.781326293945312 × 32768)
    floor (25602.5)     		tx = 25602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733810424804688 × 215)
    floor (0.733810424804688 × 32768)
    floor (24045.5)     		ty = 24045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25602 / 24045 ti = "15/25602/24045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25602/24045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25602 ÷ 215
    25602 ÷ 32768     		x = 0.78131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24045 ÷ 215
    24045 ÷ 32768     		y = 0.733795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76752936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.46759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.468978351957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76752936} λ = 1.76752936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.468978351957))-π/2
    2×atan(0.23016050814363)-π/2
    2×0.226220826511154-π/2
    0.452441653022308-1.57079632675     		φ = -1.11835467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76752936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.271972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11835467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.077003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25602 KachelY 24045 1.76752936 -1.11835467 101.271972 -64.077003
    Oben rechts KachelX + 1 25603 KachelY 24045 1.76772111 -1.11835467 101.282959 -64.077003
    Unten links KachelX 25602 KachelY + 1 24046 1.76752936 -1.11843849 101.271972 -64.081805
    Unten rechts KachelX + 1 25603 KachelY + 1 24046 1.76772111 -1.11843849 101.282959 -64.081805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11835467--1.11843849) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dl = 534.017219999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11835467--1.11843849) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dr = 534.017219999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76752936-1.76772111) × cos(-1.11835467) × R
    0.000191750000000157 × 0.437162818148854 × 6371000     		do = 534.055257291689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76752936-1.76772111) × cos(-1.11843849) × R
    0.000191750000000157 × 0.437087430381911 × 6371000     		du = 533.963160636622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11835467)-sin(-1.11843849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437162818148854-0.437087430381911)×R²
    abs(1.76772111-1.76752936)×7.53877669426584e-05×R²
    0.000191750000000157×7.53877669426584e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.53877669426584e-05×40589641000000     		ar = 285170.113392076m²