Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2560 / 4603
↖ ↑ ↗
← N 61.658595°
W123.750000°		 ← 1 159.88 m → N 61.658595°
W123.728027°		 →
↑
1 160.10 m
↓
↑
1 160.10 m
↓
N 61.648162°
W123.750000°		 ← 1 160.28 m →
1 345 803 m²		 N 61.648162°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156280517578125 y=0.280975341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156280517578125 × 214)
    floor (0.156280517578125 × 16384)
    floor (2560.5)     		tx = 2560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.280975341796875 × 214)
    floor (0.280975341796875 × 16384)
    floor (4603.5)     		ty = 4603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2560 / 4603 ti = "14/2560/4603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2560/4603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2560 ÷ 214
    2560 ÷ 16384     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4603 ÷ 214
    4603 ÷ 16384     		y = 0.28094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28094482421875 × 2 - 1) × π
    0.4381103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37636426189105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37636426189105))-π/2
    2×atan(3.96047616565937)-π/2
    2×1.32347091236071-π/2
    2.64694182472142-1.57079632675     		φ = 1.07614550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07614550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.658595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2560 KachelY 4603 -2.15984495 1.07614550 -123.750000 61.658595
    Oben rechts KachelX + 1 2561 KachelY 4603 -2.15946145 1.07614550 -123.728027 61.658595
    Unten links KachelX 2560 KachelY + 1 4604 -2.15984495 1.07596341 -123.750000 61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 2561 KachelY + 1 4604 -2.15946145 1.07596341 -123.728027 61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07614550-1.07596341) × R
    0.000182090000000024 × 6371000     		dl = 1160.09539000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07614550-1.07596341) × R
    0.000182090000000024 × 6371000     		dr = 1160.09539000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15946145) × cos(1.07614550) × R
    0.000383500000000314 × 0.474724360824003 × 6371000     		do = 1159.88382422848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15946145) × cos(1.07596341) × R
    0.000383500000000314 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 1160.27537383903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07614550)-sin(1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474724360824003-0.474884616648524)×R²
    abs(-2.15946145--2.15984495)×0.000160255824520283×R²
    0.000383500000000314×0.000160255824520283×6371000²
    0.000383500000000314×0.000160255824520283×40589641000000     		ar = 1345802.99859073m²