Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25598 / 24651
↖ ↑ ↗
← S 66.839487°
E101.228027°		 ← 480.48 m → S 66.839487°
E101.239014°		 →
↑
480.44 m
↓
↑
480.44 m
↓
S 66.843807°
E101.228027°		 ← 480.40 m →
230 821 m²		 S 66.843807°
E101.239014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781204223632812 y=0.752304077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781204223632812 × 215)
    floor (0.781204223632812 × 32768)
    floor (25598.5)     		tx = 25598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752304077148438 × 215)
    floor (0.752304077148438 × 32768)
    floor (24651.5)     		ty = 24651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25598 / 24651 ti = "15/25598/24651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25598/24651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25598 ÷ 215
    25598 ÷ 32768     		x = 0.78118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24651 ÷ 215
    24651 ÷ 32768     		y = 0.752288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    0.5623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76676237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.50457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58517739663602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76676237} λ = 1.76676237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58517739663602))-π/2
    2×atan(0.204911439292358)-π/2
    2×0.202113606359191-π/2
    0.404227212718383-1.57079632675     		φ = -1.16656911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76676237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16656911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.839487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25598 KachelY 24651 1.76676237 -1.16656911 101.228027 -66.839487
    Oben rechts KachelX + 1 25599 KachelY 24651 1.76695412 -1.16656911 101.239014 -66.839487
    Unten links KachelX 25598 KachelY + 1 24652 1.76676237 -1.16664452 101.228027 -66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 25599 KachelY + 1 24652 1.76695412 -1.16664452 101.239014 -66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16656911--1.16664452) × R
    7.5409999999998e-05 × 6371000     		dl = 480.437109999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16656911--1.16664452) × R
    7.5409999999998e-05 × 6371000     		dr = 480.437109999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76676237-1.76695412) × cos(-1.16656911) × R
    0.000191750000000157 × 0.393308375892384 × 6371000     		do = 480.480949344284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76676237-1.76695412) × cos(-1.16664452) × R
    0.000191750000000157 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 480.396248732625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16656911)-sin(-1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393308375892384-0.393239042321398)×R²
    abs(1.76695412-1.76676237)×6.9333570986152e-05×R²
    0.000191750000000157×6.9333570986152e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.9333570986152e-05×40589641000000     		ar = 230820.532163629m²