Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25595 / 24653
↖ ↑ ↗
← S 66.848127°
E101.195068°		 ← 480.31 m → S 66.848127°
E101.206055°		 →
↑
480.25 m
↓
↑
480.25 m
↓
S 66.852446°
E101.195068°		 ← 480.23 m →
230 647 m²		 S 66.852446°
E101.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781112670898438 y=0.752365112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781112670898438 × 215)
    floor (0.781112670898438 × 32768)
    floor (25595.5)     		tx = 25595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752365112304688 × 215)
    floor (0.752365112304688 × 32768)
    floor (24653.5)     		ty = 24653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25595 / 24653 ti = "15/25595/24653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25595/24653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25595 ÷ 215
    25595 ÷ 32768     		x = 0.781097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24653 ÷ 215
    24653 ÷ 32768     		y = 0.752349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781097412109375 × 2 - 1) × π
    0.56219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76618713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.50469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58556089183298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76618713} λ = 1.76618713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58556089183298))-π/2
    2×atan(0.204832871805677)-π/2
    2×0.202038203717472-π/2
    0.404076407434943-1.57079632675     		φ = -1.16671992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76618713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16671992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.848127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25595 KachelY 24653 1.76618713 -1.16671992 101.195068 -66.848127
    Oben rechts KachelX + 1 25596 KachelY 24653 1.76637888 -1.16671992 101.206055 -66.848127
    Unten links KachelX 25595 KachelY + 1 24654 1.76618713 -1.16679530 101.195068 -66.852446
    Unten rechts KachelX + 1 25596 KachelY + 1 24654 1.76637888 -1.16679530 101.206055 -66.852446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16671992--1.16679530) × R
    7.53799999999583e-05 × 6371000     		dl = 480.245979999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16671992--1.16679530) × R
    7.53799999999583e-05 × 6371000     		dr = 480.245979999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76618713-1.76637888) × cos(-1.16671992) × R
    0.000191749999999935 × 0.393169715708851 × 6371000     		do = 480.311556621111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76618713-1.76637888) × cos(-1.16679530) × R
    0.000191749999999935 × 0.393100405250983 × 6371000     		du = 480.226884245344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16671992)-sin(-1.16679530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393169715708851-0.393100405250983)×R²
    abs(1.76637888-1.76618713)×6.9310457868399e-05×R²
    0.000191749999999935×6.9310457868399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.9310457868399e-05×40589641000000     		ar = 230647.362540033m²