Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25591 / 24636
↖ ↑ ↗
← S 66.774586°
E101.151123°		 ← 481.75 m → S 66.774586°
E101.162110°		 →
↑
481.71 m
↓
↑
481.71 m
↓
S 66.778918°
E101.151123°		 ← 481.67 m →
232 045 m²		 S 66.778918°
E101.162110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780990600585938 y=0.751846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780990600585938 × 215)
    floor (0.780990600585938 × 32768)
    floor (25591.5)     		tx = 25591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751846313476562 × 215)
    floor (0.751846313476562 × 32768)
    floor (24636.5)     		ty = 24636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25591 / 24636 ti = "15/25591/24636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25591/24636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25591 ÷ 215
    25591 ÷ 32768     		x = 0.780975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24636 ÷ 215
    24636 ÷ 32768     		y = 0.7518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780975341796875 × 2 - 1) × π
    0.56195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76542014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76542014} λ = 1.76542014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58230118265881))-π/2
    2×atan(0.205501656827214)-π/2
    2×0.202679974281468-π/2
    0.405359948562936-1.57079632675     		φ = -1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76542014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25591 KachelY 24636 1.76542014 -1.16543638 101.151123 -66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 25592 KachelY 24636 1.76561189 -1.16543638 101.162110 -66.774586
    Unten links KachelX 25591 KachelY + 1 24637 1.76542014 -1.16551199 101.151123 -66.778918
    Unten rechts KachelX + 1 25592 KachelY + 1 24637 1.76561189 -1.16551199 101.162110 -66.778918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16543638--1.16551199) × R
    7.56099999998927e-05 × 6371000     		dl = 481.711309999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16543638--1.16551199) × R
    7.56099999998927e-05 × 6371000     		dr = 481.711309999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76542014-1.76561189) × cos(-1.16543638) × R
    0.000191749999999935 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 481.752904137645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76542014-1.76561189) × cos(-1.16551199) × R
    0.000191749999999935 × 0.394280079069352 × 6371000     		du = 481.668020084061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16543638)-sin(-1.16551199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394280079069352)×R²
    abs(1.76561189-1.76542014)×6.94837314568209e-05×R²
    0.000191749999999935×6.94837314568209e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.94837314568209e-05×40589641000000     		ar = 232045.377854856m²