Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25590 / 24058
↖ ↑ ↗
← S 64.139370°
E101.140137°		 ← 532.86 m → S 64.139370°
E101.151123°		 →
↑
532.81 m
↓
↑
532.81 m
↓
S 64.144161°
E101.140137°		 ← 532.77 m →
283 886 m²		 S 64.144161°
E101.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780960083007812 y=0.734207153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780960083007812 × 215)
    floor (0.780960083007812 × 32768)
    floor (25590.5)     		tx = 25590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734207153320312 × 215)
    floor (0.734207153320312 × 32768)
    floor (24058.5)     		ty = 24058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25590 / 24058 ti = "15/25590/24058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25590/24058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25590 ÷ 215
    25590 ÷ 32768     		x = 0.78094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24058 ÷ 215
    24058 ÷ 32768     		y = 0.73419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78094482421875 × 2 - 1) × π
    0.5618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76522839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.4683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47147107073724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76522839} λ = 1.76522839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47147107073724))-π/2
    2×atan(0.229587497196792)-π/2
    2×0.225676574948376-π/2
    0.451353149896753-1.57079632675     		φ = -1.11944318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76522839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11944318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.139370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25590 KachelY 24058 1.76522839 -1.11944318 101.140137 -64.139370
    Oben rechts KachelX + 1 25591 KachelY 24058 1.76542014 -1.11944318 101.151123 -64.139370
    Unten links KachelX 25590 KachelY + 1 24059 1.76522839 -1.11952681 101.140137 -64.144161
    Unten rechts KachelX + 1 25591 KachelY + 1 24059 1.76542014 -1.11952681 101.151123 -64.144161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11944318--1.11952681) × R
    8.36300000000012e-05 × 6371000     		dl = 532.806730000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11944318--1.11952681) × R
    8.36300000000012e-05 × 6371000     		dr = 532.806730000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76522839-1.76542014) × cos(-1.11944318) × R
    0.000191749999999935 × 0.43618357263768 × 6371000     		do = 532.858972539236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76522839-1.76542014) × cos(-1.11952681) × R
    0.000191749999999935 × 0.43610831601249 × 6371000     		du = 532.767036092081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11944318)-sin(-1.11952681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43618357263768-0.43610831601249)×R²
    abs(1.76542014-1.76522839)×7.52566251899789e-05×R²
    0.000191749999999935×7.52566251899789e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.52566251899789e-05×40589641000000     		ar = 283886.354695721m²