Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25587 / 24121
↖ ↑ ↗
← S 64.439633°
E101.107178°		 ← 527.09 m → S 64.439633°
E101.118164°		 →
↑
527.01 m
↓
↑
527.01 m
↓
S 64.444372°
E101.107178°		 ← 527 m →
277 758 m²		 S 64.444372°
E101.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780868530273438 y=0.736129760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780868530273438 × 215)
    floor (0.780868530273438 × 32768)
    floor (25587.5)     		tx = 25587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736129760742188 × 215)
    floor (0.736129760742188 × 32768)
    floor (24121.5)     		ty = 24121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25587 / 24121 ti = "15/25587/24121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25587/24121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25587 ÷ 215
    25587 ÷ 32768     		x = 0.780853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24121 ÷ 215
    24121 ÷ 32768     		y = 0.736114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780853271484375 × 2 - 1) × π
    0.56170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76465315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.47222900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4835511694415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76465315} λ = 1.76465315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4835511694415))-π/2
    2×atan(0.226830742030726)-π/2
    2×0.223056284284731-π/2
    0.446112568569461-1.57079632675     		φ = -1.12468376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76465315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.107178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12468376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.439633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25587 KachelY 24121 1.76465315 -1.12468376 101.107178 -64.439633
    Oben rechts KachelX + 1 25588 KachelY 24121 1.76484490 -1.12468376 101.118164 -64.439633
    Unten links KachelX 25587 KachelY + 1 24122 1.76465315 -1.12476648 101.107178 -64.444372
    Unten rechts KachelX + 1 25588 KachelY + 1 24122 1.76484490 -1.12476648 101.118164 -64.444372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12468376--1.12476648) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dl = 527.009119999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12468376--1.12476648) × R
    8.27199999999806e-05 × 6371000     		dr = 527.009119999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76465315-1.76484490) × cos(-1.12468376) × R
    0.000191749999999935 × 0.431461828337374 × 6371000     		do = 527.09070437352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76465315-1.76484490) × cos(-1.12476648) × R
    0.000191749999999935 × 0.431387202568955 × 6371000     		du = 526.999538605757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12468376)-sin(-1.12476648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431461828337374-0.431387202568955)×R²
    abs(1.76484490-1.76465315)×7.46257684196561e-05×R²
    0.000191749999999935×7.46257684196561e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.46257684196561e-05×40589641000000     		ar = 277757.585834849m²