Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25586 / 24913
↖ ↑ ↗
← S 67.945776°
E101.096191°		 ← 458.71 m → S 67.945776°
E101.107178°		 →
↑
458.65 m
↓
↑
458.65 m
↓
S 67.949900°
E101.096191°		 ← 458.62 m →
210 366 m²		 S 67.949900°
E101.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780838012695312 y=0.760299682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780838012695312 × 215)
    floor (0.780838012695312 × 32768)
    floor (25586.5)     		tx = 25586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760299682617188 × 215)
    floor (0.760299682617188 × 32768)
    floor (24913.5)     		ty = 24913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25586 / 24913 ti = "15/25586/24913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25586/24913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25586 ÷ 215
    25586 ÷ 32768     		x = 0.78082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24913 ÷ 215
    24913 ÷ 32768     		y = 0.760284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78082275390625 × 2 - 1) × π
    0.5616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76446140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760284423828125 × 2 - 1) × π
    -0.52056884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63541526743784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76446140} λ = 1.76446140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63541526743784))-π/2
    2×atan(0.194871430734607)-π/2
    2×0.192459414961334-π/2
    0.384918829922668-1.57079632675     		φ = -1.18587750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76446140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.096191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18587750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.945776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25586 KachelY 24913 1.76446140 -1.18587750 101.096191 -67.945776
    Oben rechts KachelX + 1 25587 KachelY 24913 1.76465315 -1.18587750 101.107178 -67.945776
    Unten links KachelX 25586 KachelY + 1 24914 1.76446140 -1.18594949 101.096191 -67.949900
    Unten rechts KachelX + 1 25587 KachelY + 1 24914 1.76465315 -1.18594949 101.107178 -67.949900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18587750--1.18594949) × R
    7.19900000001328e-05 × 6371000     		dl = 458.648290000846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18587750--1.18594949) × R
    7.19900000001328e-05 × 6371000     		dr = 458.648290000846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76446140-1.76465315) × cos(-1.18587750) × R
    0.000191749999999935 × 0.375483904311023 × 6371000     		do = 458.705875249434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76446140-1.76465315) × cos(-1.18594949) × R
    0.000191749999999935 × 0.375417180924508 × 6371000     		du = 458.624363341575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18587750)-sin(-1.18594949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375483904311023-0.375417180924508)×R²
    abs(1.76465315-1.76446140)×6.67233865143113e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67233865143113e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67233865143113e-05×40589641000000     		ar = 210365.972738294m²