Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25586 / 24053
↖ ↑ ↗
← S 64.115399°
E101.096191°		 ← 533.32 m → S 64.115399°
E101.107178°		 →
↑
533.25 m
↓
↑
533.25 m
↓
S 64.120194°
E101.096191°		 ← 533.23 m →
284 369 m²		 S 64.120194°
E101.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780838012695312 y=0.734054565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780838012695312 × 215)
    floor (0.780838012695312 × 32768)
    floor (25586.5)     		tx = 25586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734054565429688 × 215)
    floor (0.734054565429688 × 32768)
    floor (24053.5)     		ty = 24053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25586 / 24053 ti = "15/25586/24053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25586/24053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25586 ÷ 215
    25586 ÷ 32768     		x = 0.78082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24053 ÷ 215
    24053 ÷ 32768     		y = 0.734039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78082275390625 × 2 - 1) × π
    0.5616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76446140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.46807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47051233274484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76446140} λ = 1.76446140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47051233274484))-π/2
    2×atan(0.229807717002613)-π/2
    2×0.22588575804605-π/2
    0.451771516092099-1.57079632675     		φ = -1.11902481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76446140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.096191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11902481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.115399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25586 KachelY 24053 1.76446140 -1.11902481 101.096191 -64.115399
    Oben rechts KachelX + 1 25587 KachelY 24053 1.76465315 -1.11902481 101.107178 -64.115399
    Unten links KachelX 25586 KachelY + 1 24054 1.76446140 -1.11910851 101.096191 -64.120194
    Unten rechts KachelX + 1 25587 KachelY + 1 24054 1.76465315 -1.11910851 101.107178 -64.120194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11902481--1.11910851) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dl = 533.252700000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11902481--1.11910851) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dr = 533.252700000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76446140-1.76465315) × cos(-1.11902481) × R
    0.000191749999999935 × 0.436560007921778 × 6371000     		do = 533.318840657374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76446140-1.76465315) × cos(-1.11910851) × R
    0.000191749999999935 × 0.436484703583355 × 6371000     		du = 533.226845921862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11902481)-sin(-1.11910851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436560007921778-0.436484703583355)×R²
    abs(1.76465315-1.76446140)×7.53043384227881e-05×R²
    0.000191749999999935×7.53043384227881e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.53043384227881e-05×40589641000000     		ar = 284369.183687282m²