Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25585 / 24849
↖ ↑ ↗
← S 67.680257°
E101.085205°		 ← 463.95 m → S 67.680257°
E101.096191°		 →
↑
463.87 m
↓
↑
463.87 m
↓
S 67.684429°
E101.085205°		 ← 463.87 m →
215 194 m²		 S 67.684429°
E101.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780807495117188 y=0.758346557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780807495117188 × 215)
    floor (0.780807495117188 × 32768)
    floor (25585.5)     		tx = 25585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758346557617188 × 215)
    floor (0.758346557617188 × 32768)
    floor (24849.5)     		ty = 24849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25585 / 24849 ti = "15/25585/24849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25585/24849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25585 ÷ 215
    25585 ÷ 32768     		x = 0.780792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24849 ÷ 215
    24849 ÷ 32768     		y = 0.758331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780792236328125 × 2 - 1) × π
    0.56158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76426965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.51666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6231434211351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76426965} λ = 1.76426965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6231434211351))-π/2
    2×atan(0.197277596834705)-π/2
    2×0.194776499303456-π/2
    0.389552998606913-1.57079632675     		φ = -1.18124333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76426965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18124333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.680257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25585 KachelY 24849 1.76426965 -1.18124333 101.085205 -67.680257
    Oben rechts KachelX + 1 25586 KachelY 24849 1.76446140 -1.18124333 101.096191 -67.680257
    Unten links KachelX 25585 KachelY + 1 24850 1.76426965 -1.18131614 101.085205 -67.684429
    Unten rechts KachelX + 1 25586 KachelY + 1 24850 1.76446140 -1.18131614 101.096191 -67.684429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18124333--1.18131614) × R
    7.28100000000342e-05 × 6371000     		dl = 463.872510000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18124333--1.18131614) × R
    7.28100000000342e-05 × 6371000     		dr = 463.872510000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76426965-1.76446140) × cos(-1.18124333) × R
    0.000191750000000157 × 0.379774939839667 × 6371000     		do = 463.947972674906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76426965-1.76446140) × cos(-1.18131614) × R
    0.000191750000000157 × 0.379707583837429 × 6371000     		du = 463.865687938849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18124333)-sin(-1.18131614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379774939839667-0.379707583837429)×R²
    abs(1.76446140-1.76426965)×6.73560022375619e-05×R²
    0.000191750000000157×6.73560022375619e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.73560022375619e-05×40589641000000     		ar = 215193.625875887m²