Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25582 / 24912
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E101.052246°		 ← 458.79 m → S 67.941650°
E101.063233°		 →
↑
458.78 m
↓
↑
458.78 m
↓
S 67.945776°
E101.052246°		 ← 458.71 m →
210 462 m²		 S 67.945776°
E101.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780715942382812 y=0.760269165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780715942382812 × 215)
    floor (0.780715942382812 × 32768)
    floor (25582.5)     		tx = 25582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760269165039062 × 215)
    floor (0.760269165039062 × 32768)
    floor (24912.5)     		ty = 24912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25582 / 24912 ti = "15/25582/24912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25582/24912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25582 ÷ 215
    25582 ÷ 32768     		x = 0.78070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24912 ÷ 215
    24912 ÷ 32768     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78070068359375 × 2 - 1) × π
    0.5614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76369441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76369441} λ = 1.76369441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76369441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25582 KachelY 24912 1.76369441 -1.18580549 101.052246 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 25583 KachelY 24912 1.76388616 -1.18580549 101.063233 -67.941650
    Unten links KachelX 25582 KachelY + 1 24913 1.76369441 -1.18587750 101.052246 -67.945776
    Unten rechts KachelX + 1 25583 KachelY + 1 24913 1.76388616 -1.18587750 101.063233 -67.945776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18587750) × R
    7.20100000000112e-05 × 6371000     		dl = 458.775710000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18587750) × R
    7.20100000000112e-05 × 6371000     		dr = 458.775710000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76369441-1.76388616) × cos(-1.18580549) × R
    0.000191749999999935 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 458.787407424373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76369441-1.76388616) × cos(-1.18587750) × R
    0.000191749999999935 × 0.375483904311023 × 6371000     		du = 458.705875249434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18587750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375483904311023)×R²
    abs(1.76388616-1.76369441)×6.67399765838517e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67399765838517e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67399765838517e-05×40589641000000     		ar = 210461.816180757m²