Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25581 / 24047
↖ ↑ ↗
← S 64.086607°
E101.041260°		 ← 533.87 m → S 64.086607°
E101.052246°		 →
↑
533.83 m
↓
↑
533.83 m
↓
S 64.091407°
E101.041260°		 ← 533.78 m →
284 970 m²		 S 64.091407°
E101.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780685424804688 y=0.733871459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780685424804688 × 215)
    floor (0.780685424804688 × 32768)
    floor (25581.5)     		tx = 25581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733871459960938 × 215)
    floor (0.733871459960938 × 32768)
    floor (24047.5)     		ty = 24047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25581 / 24047 ti = "15/25581/24047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25581/24047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25581 ÷ 215
    25581 ÷ 32768     		x = 0.780670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24047 ÷ 215
    24047 ÷ 32768     		y = 0.733856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780670166015625 × 2 - 1) × π
    0.56134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76350266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46936184715396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76350266} λ = 1.76350266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46936184715396))-π/2
    2×atan(0.230072259616752)-π/2
    2×0.226137016045987-π/2
    0.452274032091975-1.57079632675     		φ = -1.11852229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76350266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11852229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.086607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25581 KachelY 24047 1.76350266 -1.11852229 101.041260 -64.086607
    Oben rechts KachelX + 1 25582 KachelY 24047 1.76369441 -1.11852229 101.052246 -64.086607
    Unten links KachelX 25581 KachelY + 1 24048 1.76350266 -1.11860608 101.041260 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 25582 KachelY + 1 24048 1.76369441 -1.11860608 101.052246 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11852229--1.11860608) × R
    8.3789999999917e-05 × 6371000     		dl = 533.826089999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11852229--1.11860608) × R
    8.3789999999917e-05 × 6371000     		dr = 533.826089999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76350266-1.76369441) × cos(-1.11852229) × R
    0.000191749999999935 × 0.437012057533196 × 6371000     		do = 533.871082205629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76350266-1.76369441) × cos(-1.11860608) × R
    0.000191749999999935 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 533.779011014727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11852229)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437012057533196-0.436936690610512)×R²
    abs(1.76369441-1.76350266)×7.53669226834508e-05×R²
    0.000191749999999935×7.53669226834508e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.53669226834508e-05×40589641000000     		ar = 284969.737542286m²