Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2558 / 534
↖ ↑ ↗
← N 78.801980°
E 44.824219°		 ← 1 897.92 m → N 78.801980°
E 44.912109°		 →
↑
1 899.39 m
↓
↑
1 899.39 m
↓
N 78.784899°
E 44.824219°		 ← 1 900.78 m →
3 607 594 m²		 N 78.784899°
E 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6246337890625 y=0.1304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6246337890625 × 212)
    floor (0.6246337890625 × 4096)
    floor (2558.5)     		tx = 2558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1304931640625 × 212)
    floor (0.1304931640625 × 4096)
    floor (534.5)     		ty = 534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2558 / 534 ti = "12/2558/534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2558/534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2558 ÷ 212
    2558 ÷ 4096     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 534 ÷ 212
    534 ÷ 4096     		y = 0.13037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    0.7392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32244691279248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32244691279248))-π/2
    2×atan(10.2006037813925)-π/2
    2×1.4730751672084-π/2
    2.9461503344168-1.57079632675     		φ = 1.37535401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37535401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.801980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2558 KachelY 534 0.78233020 1.37535401 44.824219 78.801980
    Oben rechts KachelX + 1 2559 KachelY 534 0.78386418 1.37535401 44.912109 78.801980
    Unten links KachelX 2558 KachelY + 1 535 0.78233020 1.37505588 44.824219 78.784899
    Unten rechts KachelX + 1 2559 KachelY + 1 535 0.78386418 1.37505588 44.912109 78.784899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37535401-1.37505588) × R
    0.000298130000000008 × 6371000     		dl = 1899.38623000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37535401-1.37505588) × R
    0.000298130000000008 × 6371000     		dr = 1899.38623000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78386418) × cos(1.37535401) × R
    0.00153398000000005 × 0.194200449854465 × 6371000     		do = 1897.9183902577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78386418) × cos(1.37505588) × R
    0.00153398000000005 × 0.194492895381245 × 6371000     		du = 1900.7764564663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37535401)-sin(1.37505588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194200449854465-0.194492895381245)×R²
    abs(0.78386418-0.78233020)×0.000292445526779872×R²
    0.00153398000000005×0.000292445526779872×6371000²
    0.00153398000000005×0.000292445526779872×40589641000000     		ar = 3607594.36864018m²