Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2558 / 1534
↖ ↑ ↗
← N 81.100015°
W123.793945°		 ← 378 m → N 81.100015°
W123.771972°		 →
↑
378.06 m
↓
↑
378.06 m
↓
N 81.096615°
W123.793945°		 ← 378.14 m →
142 932 m²		 N 81.096615°
W123.771972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156158447265625 y=0.093658447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156158447265625 × 214)
    floor (0.156158447265625 × 16384)
    floor (2558.5)     		tx = 2558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093658447265625 × 214)
    floor (0.093658447265625 × 16384)
    floor (1534.5)     		ty = 1534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2558 / 1534 ti = "14/2558/1534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2558/1534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2558 ÷ 214
    2558 ÷ 16384     		x = 0.1561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1534 ÷ 214
    1534 ÷ 16384     		y = 0.0936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16061194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936279296875 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55331102136267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16061194} λ = -2.16061194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55331102136267))-π/2
    2×atan(12.8495786556835)-π/2
    2×1.4931293078418-π/2
    2.9862586156836-1.57079632675     		φ = 1.41546229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16061194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41546229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.100015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2558 KachelY 1534 -2.16061194 1.41546229 -123.793945 81.100015
    Oben rechts KachelX + 1 2559 KachelY 1534 -2.16022844 1.41546229 -123.771972 81.100015
    Unten links KachelX 2558 KachelY + 1 1535 -2.16061194 1.41540295 -123.793945 81.096615
    Unten rechts KachelX + 1 2559 KachelY + 1 1535 -2.16022844 1.41540295 -123.771972 81.096615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41546229-1.41540295) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dl = 378.055139999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41546229-1.41540295) × R
    5.93399999999633e-05 × 6371000     		dr = 378.055139999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16061194--2.16022844) × cos(1.41546229) × R
    0.00038349999999987 × 0.154710122877156 × 6371000     		do = 377.999916957986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16061194--2.16022844) × cos(1.41540295) × R
    0.00038349999999987 × 0.154768748145619 × 6371000     		du = 378.143154815977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41546229)-sin(1.41540295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154710122877156-0.154768748145619)×R²
    abs(-2.16022844--2.16061194)×5.86252684627309e-05×R²
    0.00038349999999987×5.86252684627309e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.86252684627309e-05×40589641000000     		ar = 142931.887470537m²