Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2557 / 1533
↖ ↑ ↗
← N 81.103414°
W123.815918°		 ← 377.85 m → N 81.103414°
W123.793945°		 →
↑
377.93 m
↓
↑
377.93 m
↓
N 81.100015°
W123.815918°		 ← 377.99 m →
142 826 m²		 N 81.100015°
W123.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156097412109375 y=0.093597412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156097412109375 × 214)
    floor (0.156097412109375 × 16384)
    floor (2557.5)     		tx = 2557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093597412109375 × 214)
    floor (0.093597412109375 × 16384)
    floor (1533.5)     		ty = 1533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2557 / 1533 ti = "14/2557/1533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2557/1533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2557 ÷ 214
    2557 ÷ 16384     		x = 0.15606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1533 ÷ 214
    1533 ÷ 16384     		y = 0.09356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.6878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16099543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09356689453125 × 2 - 1) × π
    0.8128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55369451655963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16099543} λ = -2.16099543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55369451655963))-π/2
    2×atan(12.8545073523863)-π/2
    2×1.49315896751746-π/2
    2.98631793503493-1.57079632675     		φ = 1.41552161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16099543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41552161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.103414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2557 KachelY 1533 -2.16099543 1.41552161 -123.815918 81.103414
    Oben rechts KachelX + 1 2558 KachelY 1533 -2.16061194 1.41552161 -123.793945 81.103414
    Unten links KachelX 2557 KachelY + 1 1534 -2.16099543 1.41546229 -123.815918 81.100015
    Unten rechts KachelX + 1 2558 KachelY + 1 1534 -2.16061194 1.41546229 -123.793945 81.100015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41552161-1.41546229) × R
    5.93200000000849e-05 × 6371000     		dl = 377.927720000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41552161-1.41546229) × R
    5.93200000000849e-05 × 6371000     		dr = 377.927720000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16099543--2.16061194) × cos(1.41552161) × R
    0.000383489999999931 × 0.154651516823304 × 6371000     		do = 377.846873198562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16099543--2.16061194) × cos(1.41546229) × R
    0.000383489999999931 × 0.154710122877156 × 6371000     		du = 377.990060376117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41552161)-sin(1.41546229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154651516823304-0.154710122877156)×R²
    abs(-2.16061194--2.16099543)×5.86060538519673e-05×R²
    0.000383489999999931×5.86060538519673e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.86060538519673e-05×40589641000000     		ar = 142825.864541565m²