Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25567 / 24723
↖ ↑ ↗
← S 67.148632°
E100.887451°		 ← 474.39 m → S 67.148632°
E100.898437°		 →
↑
474.38 m
↓
↑
474.38 m
↓
S 67.152898°
E100.887451°		 ← 474.31 m →
225 023 m²		 S 67.152898°
E100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780258178710938 y=0.754501342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780258178710938 × 215)
    floor (0.780258178710938 × 32768)
    floor (25567.5)     		tx = 25567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754501342773438 × 215)
    floor (0.754501342773438 × 32768)
    floor (24723.5)     		ty = 24723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25567 / 24723 ti = "15/25567/24723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25567/24723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25567 ÷ 215
    25567 ÷ 32768     		x = 0.780242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24723 ÷ 215
    24723 ÷ 32768     		y = 0.754486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780242919921875 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76081820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.50897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59898322372659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76081820} λ = 1.76081820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59898322372659))-π/2
    2×atan(0.202101905982958)-π/2
    2×0.199415803937157-π/2
    0.398831607874313-1.57079632675     		φ = -1.17196472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76081820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17196472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.148632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25567 KachelY 24723 1.76081820 -1.17196472 100.887451 -67.148632
    Oben rechts KachelX + 1 25568 KachelY 24723 1.76100994 -1.17196472 100.898437 -67.148632
    Unten links KachelX 25567 KachelY + 1 24724 1.76081820 -1.17203918 100.887451 -67.152898
    Unten rechts KachelX + 1 25568 KachelY + 1 24724 1.76100994 -1.17203918 100.898437 -67.152898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17196472--1.17203918) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dl = 474.38465999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17196472--1.17203918) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dr = 474.38465999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76081820-1.76100994) × cos(-1.17196472) × R
    0.000191740000000218 × 0.388341915340854 × 6371000     		do = 474.388984937677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76081820-1.76100994) × cos(-1.17203918) × R
    0.000191740000000218 × 0.388273298230749 × 6371000     		du = 474.305163954348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17196472)-sin(-1.17203918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388341915340854-0.388273298230749)×R²
    abs(1.76100994-1.76081820)×6.86171101047517e-05×R²
    0.000191740000000218×6.86171101047517e-05×6371000²
    0.000191740000000218×6.86171101047517e-05×40589641000000     		ar = 225022.975737473m²