Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25567 / 24610
↖ ↑ ↗
← S 66.661683°
E100.887451°		 ← 483.94 m → S 66.661683°
E100.898437°		 →
↑
483.94 m
↓
↑
483.94 m
↓
S 66.666036°
E100.887451°		 ← 483.85 m →
234 177 m²		 S 66.666036°
E100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780258178710938 y=0.751052856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780258178710938 × 215)
    floor (0.780258178710938 × 32768)
    floor (25567.5)     		tx = 25567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751052856445312 × 215)
    floor (0.751052856445312 × 32768)
    floor (24610.5)     		ty = 24610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25567 / 24610 ti = "15/25567/24610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25567/24610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25567 ÷ 215
    25567 ÷ 32768     		x = 0.780242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24610 ÷ 215
    24610 ÷ 32768     		y = 0.75103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780242919921875 × 2 - 1) × π
    0.56048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76081820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57731574509833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76081820} λ = 1.76081820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57731574509833))-π/2
    2×atan(0.206528730584656)-π/2
    2×0.203665231426453-π/2
    0.407330462852906-1.57079632675     		φ = -1.16346586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76081820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16346586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.661683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25567 KachelY 24610 1.76081820 -1.16346586 100.887451 -66.661683
    Oben rechts KachelX + 1 25568 KachelY 24610 1.76100994 -1.16346586 100.898437 -66.661683
    Unten links KachelX 25567 KachelY + 1 24611 1.76081820 -1.16354182 100.887451 -66.666036
    Unten rechts KachelX + 1 25568 KachelY + 1 24611 1.76100994 -1.16354182 100.898437 -66.666036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16346586--1.16354182) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dl = 483.941159999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16346586--1.16354182) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dr = 483.941159999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76081820-1.76100994) × cos(-1.16346586) × R
    0.000191740000000218 × 0.396159626077318 × 6371000     		do = 483.938909152148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76081820-1.76100994) × cos(-1.16354182) × R
    0.000191740000000218 × 0.396089879856004 × 6371000     		du = 483.853708874183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16346586)-sin(-1.16354182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396159626077318-0.396089879856004)×R²
    abs(1.76100994-1.76081820)×6.97462213139488e-05×R²
    0.000191740000000218×6.97462213139488e-05×6371000²
    0.000191740000000218×6.97462213139488e-05×40589641000000     		ar = 234177.341216351m²