Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25560 / 24224
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E100.810547°		 ← 517.76 m → S 64.923542°
E100.821533°		 →
↑
517.71 m
↓
↑
517.71 m
↓
S 64.928198°
E100.810547°		 ← 517.67 m →
268 027 m²		 S 64.928198°
E100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780044555664062 y=0.739273071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780044555664062 × 215)
    floor (0.780044555664062 × 32768)
    floor (25560.5)     		tx = 25560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739273071289062 × 215)
    floor (0.739273071289062 × 32768)
    floor (24224.5)     		ty = 24224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25560 / 24224 ti = "15/25560/24224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25560/24224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25560 ÷ 215
    25560 ÷ 32768     		x = 0.780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24224 ÷ 215
    24224 ÷ 32768     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780029296875 × 2 - 1) × π
    0.56005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75947596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75947596} λ = 1.75947596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75947596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25560 KachelY 24224 1.75947596 -1.13312957 100.810547 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 25561 KachelY 24224 1.75966771 -1.13312957 100.821533 -64.923542
    Unten links KachelX 25560 KachelY + 1 24225 1.75947596 -1.13321083 100.810547 -64.928198
    Unten rechts KachelX + 1 25561 KachelY + 1 24225 1.75966771 -1.13321083 100.821533 -64.928198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13321083) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dl = 517.707459999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13321083) × R
    8.12599999999719e-05 × 6371000     		dr = 517.707459999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75947596-1.75966771) × cos(-1.13312957) × R
    0.000191749999999935 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 517.764067221366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75947596-1.75966771) × cos(-1.13321083) × R
    0.000191749999999935 × 0.423753699822077 × 6371000     		du = 517.674152035191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13321083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423753699822077)×R²
    abs(1.75966771-1.75947596)×7.36020770246704e-05×R²
    0.000191749999999935×7.36020770246704e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.36020770246704e-05×40589641000000     		ar = 268027.04538631m²