Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25557 / 24741
↖ ↑ ↗
← S 67.225306°
E100.777588°		 ← 472.91 m → S 67.225306°
E100.788574°		 →
↑
472.92 m
↓
↑
472.92 m
↓
S 67.229559°
E100.777588°		 ← 472.82 m →
223 627 m²		 S 67.229559°
E100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779953002929688 y=0.755050659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779953002929688 × 215)
    floor (0.779953002929688 × 32768)
    floor (25557.5)     		tx = 25557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755050659179688 × 215)
    floor (0.755050659179688 × 32768)
    floor (24741.5)     		ty = 24741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25557 / 24741 ti = "15/25557/24741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25557/24741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25557 ÷ 215
    25557 ÷ 32768     		x = 0.779937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24741 ÷ 215
    24741 ÷ 32768     		y = 0.755035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    0.55987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75890072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.51007080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60243468049924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75890072} λ = 1.75890072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60243468049924))-π/2
    2×atan(0.201405562381977)-π/2
    2×0.198746696105074-π/2
    0.397493392210147-1.57079632675     		φ = -1.17330293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75890072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.777588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17330293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.225306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25557 KachelY 24741 1.75890072 -1.17330293 100.777588 -67.225306
    Oben rechts KachelX + 1 25558 KachelY 24741 1.75909247 -1.17330293 100.788574 -67.225306
    Unten links KachelX 25557 KachelY + 1 24742 1.75890072 -1.17337716 100.777588 -67.229559
    Unten rechts KachelX + 1 25558 KachelY + 1 24742 1.75909247 -1.17337716 100.788574 -67.229559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17330293--1.17337716) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dl = 472.919330000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17330293--1.17337716) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dr = 472.919330000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75890072-1.75909247) × cos(-1.17330293) × R
    0.000191749999999935 × 0.387108386917947 × 6371000     		do = 472.906799462991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75890072-1.75909247) × cos(-1.17337716) × R
    0.000191749999999935 × 0.387039943251602 × 6371000     		du = 472.82318599377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17330293)-sin(-1.17337716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387108386917947-0.387039943251602)×R²
    abs(1.75909247-1.75890072)×6.84436663448973e-05×R²
    0.000191749999999935×6.84436663448973e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.84436663448973e-05×40589641000000     		ar = 223626.995644393m²