Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25557 / 24193
↖ ↑ ↗
← S 64.778807°
E100.777588°		 ← 520.56 m → S 64.778807°
E100.788574°		 →
↑
520.51 m
↓
↑
520.51 m
↓
S 64.783488°
E100.777588°		 ← 520.47 m →
270 932 m²		 S 64.783488°
E100.788574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779953002929688 y=0.738327026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779953002929688 × 215)
    floor (0.779953002929688 × 32768)
    floor (25557.5)     		tx = 25557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738327026367188 × 215)
    floor (0.738327026367188 × 32768)
    floor (24193.5)     		ty = 24193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25557 / 24193 ti = "15/25557/24193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25557/24193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25557 ÷ 215
    25557 ÷ 32768     		x = 0.779937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24193 ÷ 215
    24193 ÷ 32768     		y = 0.738311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    0.55987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75890072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.47662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49735699653207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75890072} λ = 1.75890072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49735699653207))-π/2
    2×atan(0.223720673956771)-π/2
    2×0.220096428295276-π/2
    0.440192856590552-1.57079632675     		φ = -1.13060347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75890072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.777588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13060347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.778807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25557 KachelY 24193 1.75890072 -1.13060347 100.777588 -64.778807
    Oben rechts KachelX + 1 25558 KachelY 24193 1.75909247 -1.13060347 100.788574 -64.778807
    Unten links KachelX 25557 KachelY + 1 24194 1.75890072 -1.13068517 100.777588 -64.783488
    Unten rechts KachelX + 1 25558 KachelY + 1 24194 1.75909247 -1.13068517 100.788574 -64.783488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13060347--1.13068517) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dl = 520.51069999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13060347--1.13068517) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dr = 520.51069999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75890072-1.75909247) × cos(-1.13060347) × R
    0.000191749999999935 × 0.426113944649722 × 6371000     		do = 520.557519756252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75890072-1.75909247) × cos(-1.13068517) × R
    0.000191749999999935 × 0.426040031729435 × 6371000     		du = 520.467224831747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13060347)-sin(-1.13068517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426113944649722-0.426040031729435)×R²
    abs(1.75909247-1.75890072)×7.39129202874111e-05×R²
    0.000191749999999935×7.39129202874111e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.39129202874111e-05×40589641000000     		ar = 270932.259412196m²