Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25556 / 24848
↖ ↑ ↗
← S 67.676085°
E100.766601°		 ← 464.03 m → S 67.676085°
E100.777588°		 →
↑
464 m
↓
↑
464 m
↓
S 67.680257°
E100.766601°		 ← 463.95 m →
215 291 m²		 S 67.680257°
E100.777588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779922485351562 y=0.758316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779922485351562 × 215)
    floor (0.779922485351562 × 32768)
    floor (25556.5)     		tx = 25556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758316040039062 × 215)
    floor (0.758316040039062 × 32768)
    floor (24848.5)     		ty = 24848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25556 / 24848 ti = "15/25556/24848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25556/24848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25556 ÷ 215
    25556 ÷ 32768     		x = 0.7799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24848 ÷ 215
    24848 ÷ 32768     		y = 0.75830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    0.559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75870897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75870897} λ = 1.75870897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62295167353662))-π/2
    2×atan(0.197315427967031)-π/2
    2×0.194812912999389-π/2
    0.389625825998778-1.57079632675     		φ = -1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75870897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.766601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25556 KachelY 24848 1.75870897 -1.18117050 100.766601 -67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 25557 KachelY 24848 1.75890072 -1.18117050 100.777588 -67.676085
    Unten links KachelX 25556 KachelY + 1 24849 1.75870897 -1.18124333 100.766601 -67.680257
    Unten rechts KachelX + 1 25557 KachelY + 1 24849 1.75890072 -1.18124333 100.777588 -67.680257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18117050--1.18124333) × R
    7.28300000001347e-05 × 6371000     		dl = 463.999930000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18117050--1.18124333) × R
    7.28300000001347e-05 × 6371000     		dr = 463.999930000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75870897-1.75890072) × cos(-1.18117050) × R
    0.000191749999999935 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 464.030277552478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75870897-1.75890072) × cos(-1.18124333) × R
    0.000191749999999935 × 0.379774939839667 × 6371000     		du = 463.947972674368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18117050)-sin(-1.18124333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.379774939839667)×R²
    abs(1.75890072-1.75870897)×6.73724899634132e-05×R²
    0.000191749999999935×6.73724899634132e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.73724899634132e-05×40589641000000     		ar = 215290.921669423m²