Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25555 / 24846
↖ ↑ ↗
← S 67.667737°
E100.755615°		 ← 464.17 m → S 67.667737°
E100.766601°		 →
↑
464.13 m
↓
↑
464.13 m
↓
S 67.671911°
E100.755615°		 ← 464.09 m →
215 415 m²		 S 67.671911°
E100.766601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779891967773438 y=0.758255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779891967773438 × 215)
    floor (0.779891967773438 × 32768)
    floor (25555.5)     		tx = 25555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758255004882812 × 215)
    floor (0.758255004882812 × 32768)
    floor (24846.5)     		ty = 24846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25555 / 24846 ti = "15/25555/24846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25555/24846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25555 ÷ 215
    25555 ÷ 32768     		x = 0.779876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24846 ÷ 215
    24846 ÷ 32768     		y = 0.75823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779876708984375 × 2 - 1) × π
    0.55975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75851723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75851723} λ = 1.75851723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62256817833966))-π/2
    2×atan(0.197391111997246)-π/2
    2×0.194885759770711-π/2
    0.389771519541423-1.57079632675     		φ = -1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75851723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25555 KachelY 24846 1.75851723 -1.18102481 100.755615 -67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 25556 KachelY 24846 1.75870897 -1.18102481 100.766601 -67.667737
    Unten links KachelX 25555 KachelY + 1 24847 1.75851723 -1.18109766 100.755615 -67.671911
    Unten rechts KachelX + 1 25556 KachelY + 1 24847 1.75870897 -1.18109766 100.766601 -67.671911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18102481--1.18109766) × R
    7.28500000000132e-05 × 6371000     		dl = 464.127350000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18102481--1.18109766) × R
    7.28500000000132e-05 × 6371000     		dr = 464.127350000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75851723-1.75870897) × cos(-1.18102481) × R
    0.000191739999999996 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 464.170705485102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75851723-1.75870897) × cos(-1.18109766) × R
    0.000191739999999996 × 0.379909692055066 × 6371000     		du = 464.088387223391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18102481)-sin(-1.18109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.379909692055066)×R²
    abs(1.75870897-1.75851723)×6.73869597213606e-05×R²
    0.000191739999999996×6.73869597213606e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.73869597213606e-05×40589641000000     		ar = 215415.216501469m²