Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25554 / 24622
↖ ↑ ↗
← S 66.713856°
E100.744629°		 ← 482.94 m → S 66.713856°
E100.755615°		 →
↑
482.92 m
↓
↑
482.92 m
↓
S 66.718199°
E100.744629°		 ← 482.86 m →
233 203 m²		 S 66.718199°
E100.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779861450195312 y=0.751419067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779861450195312 × 215)
    floor (0.779861450195312 × 32768)
    floor (25554.5)     		tx = 25554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751419067382812 × 215)
    floor (0.751419067382812 × 32768)
    floor (24622.5)     		ty = 24622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25554 / 24622 ti = "15/25554/24622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25554/24622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25554 ÷ 215
    25554 ÷ 32768     		x = 0.77984619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24622 ÷ 215
    24622 ÷ 32768     		y = 0.75140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    0.5596923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75832548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57961671628009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75832548} λ = 1.75832548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57961671628009))-π/2
    2×atan(0.206054060238196)-π/2
    2×0.203209936674279-π/2
    0.406419873348558-1.57079632675     		φ = -1.16437645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75832548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16437645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.713856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25554 KachelY 24622 1.75832548 -1.16437645 100.744629 -66.713856
    Oben rechts KachelX + 1 25555 KachelY 24622 1.75851723 -1.16437645 100.755615 -66.713856
    Unten links KachelX 25554 KachelY + 1 24623 1.75832548 -1.16445225 100.744629 -66.718199
    Unten rechts KachelX + 1 25555 KachelY + 1 24623 1.75851723 -1.16445225 100.755615 -66.718199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16437645--1.16445225) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dl = 482.921800000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16437645--1.16445225) × R
    7.58000000000703e-05 × 6371000     		dr = 482.921800000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75832548-1.75851723) × cos(-1.16437645) × R
    0.000191749999999935 × 0.395323374917439 × 6371000     		do = 482.942551241445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75832548-1.75851723) × cos(-1.16445225) × R
    0.000191749999999935 × 0.395253748297244 × 6371000     		du = 482.85749262937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16437645)-sin(-1.16445225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395323374917439-0.395253748297244)×R²
    abs(1.75851723-1.75832548)×6.96266201951068e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96266201951068e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96266201951068e-05×40589641000000     		ar = 233202.947924719m²