Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25552 / 24114
↖ ↑ ↗
← S 64.406432°
E100.722656°		 ← 527.73 m → S 64.406432°
E100.733643°		 →
↑
527.65 m
↓
↑
527.65 m
↓
S 64.411177°
E100.722656°		 ← 527.64 m →
278 430 m²		 S 64.411177°
E100.733643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779800415039062 y=0.735916137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779800415039062 × 215)
    floor (0.779800415039062 × 32768)
    floor (25552.5)     		tx = 25552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735916137695312 × 215)
    floor (0.735916137695312 × 32768)
    floor (24114.5)     		ty = 24114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25552 / 24114 ti = "15/25552/24114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25552/24114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25552 ÷ 215
    25552 ÷ 32768     		x = 0.77978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24114 ÷ 215
    24114 ÷ 32768     		y = 0.73590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    0.5595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75794198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75794198} λ = 1.75794198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48220893625214))-π/2
    2×atan(0.227135406200487)-π/2
    2×0.223346020843888-π/2
    0.446692041687776-1.57079632675     		φ = -1.12410429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75794198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12410429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.406432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25552 KachelY 24114 1.75794198 -1.12410429 100.722656 -64.406432
    Oben rechts KachelX + 1 25553 KachelY 24114 1.75813373 -1.12410429 100.733643 -64.406432
    Unten links KachelX 25552 KachelY + 1 24115 1.75794198 -1.12418711 100.722656 -64.411177
    Unten rechts KachelX + 1 25553 KachelY + 1 24115 1.75813373 -1.12418711 100.733643 -64.411177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12410429--1.12418711) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dl = 527.646220000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12410429--1.12418711) × R
    8.2820000000039e-05 × 6371000     		dr = 527.646220000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75794198-1.75813373) × cos(-1.12410429) × R
    0.000191749999999935 × 0.431984513831638 × 6371000     		do = 527.729237488719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75794198-1.75813373) × cos(-1.12418711) × R
    0.000191749999999935 × 0.431909818563868 × 6371000     		du = 527.637986817821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12410429)-sin(-1.12418711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431984513831638-0.431909818563868)×R²
    abs(1.75813373-1.75794198)×7.46952677707635e-05×R²
    0.000191749999999935×7.46952677707635e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.46952677707635e-05×40589641000000     		ar = 278430.263467889m²