Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25551 / 24191
↖ ↑ ↗
← S 64.769443°
E100.711670°		 ← 520.71 m → S 64.769443°
E100.722656°		 →
↑
520.70 m
↓
↑
520.70 m
↓
S 64.774125°
E100.711670°		 ← 520.62 m →
271 112 m²		 S 64.774125°
E100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779769897460938 y=0.738265991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779769897460938 × 215)
    floor (0.779769897460938 × 32768)
    floor (25551.5)     		tx = 25551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738265991210938 × 215)
    floor (0.738265991210938 × 32768)
    floor (24191.5)     		ty = 24191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25551 / 24191 ti = "15/25551/24191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25551/24191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25551 ÷ 215
    25551 ÷ 32768     		x = 0.779754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24191 ÷ 215
    24191 ÷ 32768     		y = 0.738250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    0.55950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75775024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.47650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49697350133511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75775024} λ = 1.75775024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49697350133511))-π/2
    2×atan(0.223806486213937)-π/2
    2×0.220178148795531-π/2
    0.440356297591062-1.57079632675     		φ = -1.13044003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75775024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13044003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.769443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25551 KachelY 24191 1.75775024 -1.13044003 100.711670 -64.769443
    Oben rechts KachelX + 1 25552 KachelY 24191 1.75794198 -1.13044003 100.722656 -64.769443
    Unten links KachelX 25551 KachelY + 1 24192 1.75775024 -1.13052176 100.711670 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 25552 KachelY + 1 24192 1.75794198 -1.13052176 100.722656 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13044003--1.13052176) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dl = 520.701830000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13044003--1.13052176) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dr = 520.701830000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75775024-1.75794198) × cos(-1.13044003) × R
    0.000191739999999996 × 0.426261798141007 × 6371000     		do = 520.71098624546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75775024-1.75794198) × cos(-1.13052176) × R
    0.000191739999999996 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 520.62066982883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13044003)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426261798141007-0.426187863772093)×R²
    abs(1.75794198-1.75775024)×7.39343689139527e-05×R²
    0.000191739999999996×7.39343689139527e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.39343689139527e-05×40589641000000     		ar = 271111.649628207m²