Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25551 / 24115
↖ ↑ ↗
← S 64.411177°
E100.711670°		 ← 527.61 m → S 64.411177°
E100.722656°		 →
↑
527.58 m
↓
↑
527.58 m
↓
S 64.415921°
E100.711670°		 ← 527.52 m →
278 334 m²		 S 64.415921°
E100.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779769897460938 y=0.735946655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779769897460938 × 215)
    floor (0.779769897460938 × 32768)
    floor (25551.5)     		tx = 25551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735946655273438 × 215)
    floor (0.735946655273438 × 32768)
    floor (24115.5)     		ty = 24115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25551 / 24115 ti = "15/25551/24115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25551/24115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25551 ÷ 215
    25551 ÷ 32768     		x = 0.779754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24115 ÷ 215
    24115 ÷ 32768     		y = 0.735931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    0.55950927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75775024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.47186279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48240068385062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75775024} λ = 1.75775024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48240068385062))-π/2
    2×atan(0.227091857707111)-π/2
    2×0.223304608427859-π/2
    0.446609216855718-1.57079632675     		φ = -1.12418711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75775024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12418711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.411177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25551 KachelY 24115 1.75775024 -1.12418711 100.711670 -64.411177
    Oben rechts KachelX + 1 25552 KachelY 24115 1.75794198 -1.12418711 100.722656 -64.411177
    Unten links KachelX 25551 KachelY + 1 24116 1.75775024 -1.12426992 100.711670 -64.415921
    Unten rechts KachelX + 1 25552 KachelY + 1 24116 1.75794198 -1.12426992 100.722656 -64.415921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12418711--1.12426992) × R
    8.28099999998777e-05 × 6371000     		dl = 527.582509999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12418711--1.12426992) × R
    8.28099999998777e-05 × 6371000     		dr = 527.582509999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75775024-1.75794198) × cos(-1.12418711) × R
    0.000191739999999996 × 0.431909818563868 × 6371000     		do = 527.610469843447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75775024-1.75794198) × cos(-1.12426992) × R
    0.000191739999999996 × 0.431835129353087 × 6371000     		du = 527.519231330456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12418711)-sin(-1.12426992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431909818563868-0.431835129353087)×R²
    abs(1.75794198-1.75775024)×7.46892107802433e-05×R²
    0.000191739999999996×7.46892107802433e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.46892107802433e-05×40589641000000     		ar = 278333.988219043m²