Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25550 / 24113
↖ ↑ ↗
← S 64.401685°
E100.700684°		 ← 527.82 m → S 64.401685°
E100.711670°		 →
↑
527.77 m
↓
↑
527.77 m
↓
S 64.406432°
E100.700684°		 ← 527.73 m →
278 546 m²		 S 64.406432°
E100.711670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779739379882812 y=0.735885620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779739379882812 × 215)
    floor (0.779739379882812 × 32768)
    floor (25550.5)     		tx = 25550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735885620117188 × 215)
    floor (0.735885620117188 × 32768)
    floor (24113.5)     		ty = 24113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25550 / 24113 ti = "15/25550/24113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25550/24113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25550 ÷ 215
    25550 ÷ 32768     		x = 0.77972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24113 ÷ 215
    24113 ÷ 32768     		y = 0.735870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77972412109375 × 2 - 1) × π
    0.5594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75755849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.47174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48201718865366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75755849} λ = 1.75755849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48201718865366))-π/2
    2×atan(0.227178963044983)-π/2
    2×0.223387440422131-π/2
    0.446774880844262-1.57079632675     		φ = -1.12402145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75755849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12402145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.401685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25550 KachelY 24113 1.75755849 -1.12402145 100.700684 -64.401685
    Oben rechts KachelX + 1 25551 KachelY 24113 1.75775024 -1.12402145 100.711670 -64.401685
    Unten links KachelX 25550 KachelY + 1 24114 1.75755849 -1.12410429 100.700684 -64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 25551 KachelY + 1 24114 1.75775024 -1.12410429 100.711670 -64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12402145--1.12410429) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dl = 527.773639999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12402145--1.12410429) × R
    8.28399999999174e-05 × 6371000     		dr = 527.773639999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75755849-1.75775024) × cos(-1.12402145) × R
    0.000191749999999935 × 0.432059224173266 × 6371000     		do = 527.820506574432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75755849-1.75775024) × cos(-1.12410429) × R
    0.000191749999999935 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 527.729237488719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12402145)-sin(-1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432059224173266-0.431984513831638)×R²
    abs(1.75775024-1.75755849)×7.4710341627815e-05×R²
    0.000191749999999935×7.4710341627815e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.4710341627815e-05×40589641000000     		ar = 278545.665471333m²