Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25550 / 24090
↖ ↑ ↗
← S 64.292293°
E100.700684°		 ← 529.92 m → S 64.292293°
E100.711670°		 →
↑
529.88 m
↓
↑
529.88 m
↓
S 64.297058°
E100.700684°		 ← 529.83 m →
280 769 m²		 S 64.297058°
E100.711670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779739379882812 y=0.735183715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779739379882812 × 215)
    floor (0.779739379882812 × 32768)
    floor (25550.5)     		tx = 25550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735183715820312 × 215)
    floor (0.735183715820312 × 32768)
    floor (24090.5)     		ty = 24090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25550 / 24090 ti = "15/25550/24090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25550/24090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25550 ÷ 215
    25550 ÷ 32768     		x = 0.77972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24090 ÷ 215
    24090 ÷ 32768     		y = 0.73516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77972412109375 × 2 - 1) × π
    0.5594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75755849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.4703369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47760699388861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75755849} λ = 1.75755849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47760699388861))-π/2
    2×atan(0.22818307906465)-π/2
    2×0.224342069687562-π/2
    0.448684139375124-1.57079632675     		φ = -1.12211219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75755849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12211219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.292293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25550 KachelY 24090 1.75755849 -1.12211219 100.700684 -64.292293
    Oben rechts KachelX + 1 25551 KachelY 24090 1.75775024 -1.12211219 100.711670 -64.292293
    Unten links KachelX 25550 KachelY + 1 24091 1.75755849 -1.12219536 100.700684 -64.297058
    Unten rechts KachelX + 1 25551 KachelY + 1 24091 1.75775024 -1.12219536 100.711670 -64.297058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12211219--1.12219536) × R
    8.31700000001323e-05 × 6371000     		dl = 529.876070000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12211219--1.12219536) × R
    8.31700000001323e-05 × 6371000     		dr = 529.876070000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75755849-1.75775024) × cos(-1.12211219) × R
    0.000191749999999935 × 0.433780292672553 × 6371000     		do = 529.923031405098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75755849-1.75775024) × cos(-1.12219536) × R
    0.000191749999999935 × 0.433705353448926 × 6371000     		du = 529.831482708151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12211219)-sin(-1.12219536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433780292672553-0.433705353448926)×R²
    abs(1.75775024-1.75755849)×7.49392236268909e-05×R²
    0.000191749999999935×7.49392236268909e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.49392236268909e-05×40589641000000     		ar = 280769.278713849m²