Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25549 / 24365
↖ ↑ ↗
← S 65.572094°
E100.689697°		 ← 505.21 m → S 65.572094°
E100.700684°		 →
↑
505.16 m
↓
↑
505.16 m
↓
S 65.576637°
E100.689697°		 ← 505.12 m →
255 186 m²		 S 65.576637°
E100.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779708862304688 y=0.743576049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779708862304688 × 215)
    floor (0.779708862304688 × 32768)
    floor (25549.5)     		tx = 25549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743576049804688 × 215)
    floor (0.743576049804688 × 32768)
    floor (24365.5)     		ty = 24365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25549 / 24365 ti = "15/25549/24365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25549/24365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25549 ÷ 215
    25549 ÷ 32768     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24365 ÷ 215
    24365 ÷ 32768     		y = 0.743560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.48712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53033758347067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53033758347067))-π/2
    2×atan(0.216462580791006)-π/2
    2×0.213173699149563-π/2
    0.426347398299126-1.57079632675     		φ = -1.14444893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14444893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.572094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25549 KachelY 24365 1.75736674 -1.14444893 100.689697 -65.572094
    Oben rechts KachelX + 1 25550 KachelY 24365 1.75755849 -1.14444893 100.700684 -65.572094
    Unten links KachelX 25549 KachelY + 1 24366 1.75736674 -1.14452822 100.689697 -65.576637
    Unten rechts KachelX + 1 25550 KachelY + 1 24366 1.75755849 -1.14452822 100.700684 -65.576637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14444893--1.14452822) × R
    7.92899999999541e-05 × 6371000     		dl = 505.156589999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14444893--1.14452822) × R
    7.92899999999541e-05 × 6371000     		dr = 505.156589999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75755849) × cos(-1.14444893) × R
    0.000191750000000157 × 0.413547937761185 × 6371000     		do = 505.206392526035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75755849) × cos(-1.14452822) × R
    0.000191750000000157 × 0.413475744316044 × 6371000     		du = 505.118198179857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14444893)-sin(-1.14452822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413547937761185-0.413475744316044)×R²
    abs(1.75755849-1.75736674)×7.21934451414219e-05×R²
    0.000191750000000157×7.21934451414219e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.21934451414219e-05×40589641000000     		ar = 255186.062650654m²