Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25549 / 24255
↖ ↑ ↗
← S 65.067499°
E100.689697°		 ← 514.98 m → S 65.067499°
E100.700684°		 →
↑
514.90 m
↓
↑
514.90 m
↓
S 65.072130°
E100.689697°		 ← 514.89 m →
265 144 m²		 S 65.072130°
E100.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779708862304688 y=0.740219116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779708862304688 × 215)
    floor (0.779708862304688 × 32768)
    floor (25549.5)     		tx = 25549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740219116210938 × 215)
    floor (0.740219116210938 × 32768)
    floor (24255.5)     		ty = 24255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25549 / 24255 ti = "15/25549/24255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25549/24255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25549 ÷ 215
    25549 ÷ 32768     		x = 0.779693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24255 ÷ 215
    24255 ÷ 32768     		y = 0.740203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    0.55938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75736674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.48040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50924534763785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75736674} λ = 1.75736674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50924534763785))-π/2
    2×atan(0.221076751116032)-π/2
    2×0.217577114878317-π/2
    0.435154229756634-1.57079632675     		φ = -1.13564210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75736674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13564210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.067499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25549 KachelY 24255 1.75736674 -1.13564210 100.689697 -65.067499
    Oben rechts KachelX + 1 25550 KachelY 24255 1.75755849 -1.13564210 100.700684 -65.067499
    Unten links KachelX 25549 KachelY + 1 24256 1.75736674 -1.13572292 100.689697 -65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 25550 KachelY + 1 24256 1.75755849 -1.13572292 100.700684 -65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13564210--1.13572292) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dl = 514.904219999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13564210--1.13572292) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dr = 514.904219999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75736674-1.75755849) × cos(-1.13564210) × R
    0.000191750000000157 × 0.421550260014291 × 6371000     		do = 514.982343481586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75736674-1.75755849) × cos(-1.13572292) × R
    0.000191750000000157 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 514.892810322916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13564210)-sin(-1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421550260014291-0.421476970654384)×R²
    abs(1.75755849-1.75736674)×7.32893599073026e-05×R²
    0.000191750000000157×7.32893599073026e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.32893599073026e-05×40589641000000     		ar = 265143.5315277m²